包絡定理

包絡定理是在最大值函式與目標函式的關係中，我們看到，當給定參數 a 之後，目標函式中的選擇變數 x 可以任意取值。如果 x 恰好取到此時的最優值，則目標函式即與最大值函式相等。

基本介紹

• 中文名：包絡定理
• 外文名：Envelope Theorem
• 提問：考慮含參量a的函式f(x,a)
• 指出：V對a的導數等於f對a的偏導數
• 含義：在最大值函式與目標函式的關係

術語解釋

包絡定理即分析參數對函式極值的影響，按情況可分為無約束極值和條件極值。

主要套用

無約束極值

考慮含參量a的函式f(x,a)的無條件極值問題（x是內生變數，a是外生變數）。

顯然，一般地其最優解V是參量a的函式，即V(a)。

包絡定理指出：V對a的導數等於f對a的偏導數（注意是f對“a所在位”變數的偏導數）。

而且，我們還可以注意到，當目標函式與最大值函式恰好相等時，相 應的目標函式曲線與最大值函式曲線恰好相切，即它們對參數的一階導數相等。對這一 特點的數學描述就是所謂的“包絡定理”。

數理表示：dΦ/da=∂f/∂a(x=x*)

條件極值

包絡定理指出，某參數對目標函式極值的影響，等於拉格朗日函式直接對該參數求偏導數，並在最優解處取值的情況。在個體經濟學中有廣泛套用。

數理表示：dΦ/da=∂L(x,a,λ)/∂a(x=x*)=∂f/∂a-λ∂g/∂a