動態隨機介質中隨機遊動的漸近性質及其相關問題研究

《動態隨機介質中隨機遊動的漸近性質及其相關問題研究》是依託鄭州大學，由楊廣宇擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：動態隨機介質中隨機遊動的漸近性質及其相關問題研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：楊廣宇
• 依託單位：鄭州大學

項目摘要

隨機介質中隨機遊動是隨機媒介領域中最基本的模型之一，是目前機率論和統計物理研究的熱點之一。有別於通常的靜態隨機介質，本項目擬沿著時空相依這條思路,研究動態馬氏隨機環境中隨機遊動的漸近性質及其相關問題。具體內容包括：（1）在前期獲得的靜態隨機環境中隨機遊動的Strassen 不變原理和動態馬氏隨機環境中隨機遊動的分量形式的重對數律基礎上，利用homogenization方法和regeneration 技巧繼續研究動態馬氏隨機環境中隨機遊動的向量形式的重對數律；（2）利用停時技巧對樣本軌道做精細分析，藉助Gartner-Ellis 定理、收縮原理等大偏差理論工具研究動態馬氏隨機環境中隨機遊動的大偏差；（3）將beta-Laguerre隨機矩陣的關聯運算元所對應的擴散過程做離散化處理，初步探索該離散過程同Sinai型隨機環境中隨機遊動的聯繫。

結題摘要

隨機介質中隨機運動是隨機媒介領域中最基本模型之一，是目前機率論和統計物理研究的熱點之一。起源於多元統計和高能物理的隨機矩陣理論也是眾多數學分支的交匯點之一。本項目的願景即是探索隨機介質中隨機運動（Sinai型隨機遊動）和隨機矩陣（beta-Laguerre系綜）之間的關聯。主要研究內容為：（1）隨機環境中擴散過程以及動態馬氏隨機環境中隨機遊動的對數型極限定理；（2）初步探索beta-Laguerre系綜的關聯運算元與Brox擴散的無窮小運算元之間的聯繫。對內容（1），我們證明了一類動態馬氏隨機環境中隨機遊動以及一類滿足Sznitman (T_\gamma)|_l 條件的隨機環境中擴散過程有經典的重對數律結果；由於時間等關係，為研究內容（2），利用本項目的支持，我們僅只對隨機矩陣做了初步探索，從“Universality”角度出發，研究了相依隨機矩陣模型的經驗譜測度，證明了一類矩陣元具有局部強 $m$ 相依關係的Wigner 矩陣和樣本協方差矩陣的經驗譜測度分別弱收斂於半圓律和MP律；證明了樣本容量與數據維數滿足 $p/n\to c\in(0,\infty)$ 或$0$ 時，由無界（有界）$m$ 相依平穩隨機序列構成的樣本協方差矩陣的經驗譜測度的Stieltjes 變換收斂於某非隨機的確定的機率測度的Stieltjes 變換。