勒雷-紹德爾不動點定理是用來證明擬線性橢圓方程邊值問題有解的一個重要定理。
基本介紹
- 中文名：勒雷-紹德爾不動點定理
- 外文名：Leray-Schauder fixed point theorem
- 適用範圍：數理科學
簡介,套用,實例,
簡介
勒雷-紹德爾不動點定理是用來證明擬線性橢圓方程邊值問題有解的一個重要定理。
設X是巴拿赫空間，T是從X×[0,1]到X中的緊映射，對所有的x∈X，使得T(x,0)=0。假設存在常數M，使得對滿足x=T(x,σ)的所有(x,σ)∈X[0,1]，有||x||x<M，則由T1x=T(x,1)給出的X到自身中的映射T1，有一個不動點。
套用
勒雷-紹德爾不動點定理在擬線性方程的定解問題的可解性證明中有廣泛的套用。
實例
套用於橢圓型方程的狄利克雷問題有下述結果：
設Ω是R中的一個有界區域，具有邊界∂Ω∈C，又設
，設運算元族
在Ω中滿足下述條件：
1、
2、運算元Qσ對所有σ∈[0,1]在
中是橢圓型的。
3、對每一σ∈[0,1]，
，且視為從[0,1]到
中的映射，函式aij,b 是連續的。
再設對某一β>0，存在一個不依賴於u和σ的常數M，使得狄利克雷問題：在Ω中Qσu=0，在∂Ω上u=σφ(0≤σ≤1)的每一
解滿足
。那么狄利克雷問題：在Ω中Qu=0，在∂Ω上u=φ在中是可解的。
