加托-泰勒公式

加托-泰勒公式（Gateaux-Taylor formula）是經典的泰勒公式在G微分意義下的推廣。

基本介紹

• 中文名：加托-泰勒公式
• 外文名：Gateaux-Taylor formula
• 適用範圍：數理科學

簡介

加托-泰勒公式是經典的泰勒公式在G微分意義下的推廣。

設 X 和 Y 是巴拿赫空間，Ω是 X 的開凸子集， ,f:Ω→Y，設 h∈X使得x₀+h∈Ω，若 f 在Ω 中每點 x 有有界n階線性G微分，則成立下述泰勒公式

且

推論

若映射 在Ω 上連續，則有

泰勒公式

數學中，泰勒公式是一個用函式在某點的信息描述其附近取值的公式，是將一個在x=x₀處具有n階導數的函式f(x)利用關於(x-x₀)的n次多項式來逼近函式的方法。

若函式f(x)在包含x₀的某個閉區間[a,b]上具有n階導數，且在開區間(a,b)上具有n+1階導數，則對閉區間[a,b]上任意一點x，成立下式：

其中，fⁿ(x)表示f(x)的n階導數，等號後的多項式稱為函式f(x)在x₀處的泰勒展開式，剩餘的R_n(x)是泰勒公式的餘項，是(x-x₀)ⁿ的高階無窮小。