基本介紹
- 中文名：加性數論
- 外文名：additive theory of number
- 別名：堆壘數論
- 相關問題：加性問題
- 著名問題：哥德巴赫猜想、華林問題等
- 所屬學科：數學（解析數論）
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基本介紹
加性數論(additive theory ofnumber) 又稱堆壘數論，是關於“加性問題”的一個數論分支。它研究的典型問
題是：設是全體非負整數的集合，
是的有限個或可數個子集，試判定對中的每一個n，方程
是否可解或其解數
，其中
。這類問題與整數集合的加法性質有關。堆壘數論的歷史也很古老，費馬等人就開始了堆壘數論的某些研究。以下是幾個著名的堆壘數論問題。
多角數問題
設整數
，由
確定——個數列
，屬於這個數列的整數稱為m階多角數。其通項為：
。易知，4角數就是平方數。1636年，費馬猜測：每個自然數都可以表示為m個m階多角數之和。拉格朗日於1772年證明了m=4的情況；勒讓德於1798年證明了m=3的情況；1813年，柯西證明了，這個猜測，解決了多角數問題。
平方和問題
求不定方程
的整數解的個數
的問題，其中s是給定的正整數。例如
。
1829年，雅可比對
予以證明，還證明了
。1919年，哈代等人得到了
時，的漸近公式。現在對s≤24，均已得出的具體表達式。1926年克洛斯特曼，1962年埃斯特曼分別討論了形如
的平方和問題，拓廣了平方和問題，開拓了一系列新的領域。
哥德巴赫問題
哥德巴赫問題是堆壘數論亦是整個數論最有魅力的問題之一(見哥德巴赫猜想)。
華林問題
1770年，華林推測：任意正整數能夠用不超過4個平方數的和、不超過9個立方數之和或不超過19個四次方數之和來表示。意思是：對任意給定的整數k≥2，必存在一個正整數
，使得每個正整數n必是個非負的k次方數之和。即不定方程
對所有的整數n≥0有非負整數解
。這就是華林問題(還包括解的數目及極值問題)。
華林還猜測的最小值
。1770年拉格朗日證明了
；1909年威弗里奇證明了
。設
為使方程(1)對充分大的n可解的的最小值，易證
。利用的上界估計，人們基本上完成了對
的探討：當
時有條件
時，。1957年，馬勒爾證明當k充分大時條件一定成立；1964年，斯泰姆勒爾證明此條件存
時成立。1964年陳景潤證明
；1985年巴拉薩布雷尼安等證明了
。
