基本介紹
形如
的加性函式方程，
柯西(A.-L.Cauchy)證明了方程(1)的連續解只有
(
是常數)，即使只要求
在某點連續，在該點鄰域有界或可測，也只有解
。但在非可測函式類中，哈默爾(G.K.W.Hamel)和
勒貝格(H.L.Lebesgue)證明了除
外還有無窮多個解。另一方面，
奧斯特羅格拉茨基(М.В.Остроградский)證明了，如果方程(1)的解
在一個正測度集合上不取兩個相異值之間的值，則
必是連續的。以上結論可以推廣到n個變數的情形。方程(1)的變形方程是
如果存在
使得
，則
恆為零。因此假定
，取
即可看出
，令
，則方程(2)可化為方程(1)。因此，方程(2)的連續解只有
。再考慮方程
如果存在
使得
，則
，因此，假定
時
。對於
，令
，於是方程(3)就化為方程(2)，又在方程(3)中取
得到
，所以
，於是方程(3)的連續解是
或
。
一般加法定理
一般加法定理(general addition theorem)是刻畫一種特殊方程存在連續的非零解特徵的一個定理，一般加法定理如下：如果方程
在
中存在連續的非常數解
，那么
必是嚴格單調函式，而
是關於
的嚴格單調遞增連續函式，且
，還存在一個
，使得
，而且關於
中的任意的
，成立恆等式
反之，如果
是具有這些性質的函式，則(4)式存在在
上連續的非常數解，而且若
是這樣的一個解，則
就給出了其他的解，如果
還是連續可微的，則
就是微分方程
