初等積(elementary product)亦稱積範式或單項式。一種特殊的布爾表達式。它由有限個布爾變元或變元的補之積所構成。
布爾是英國著名的數學家、邏輯學家。其主要著作有《關於分析中的一個普遍方法》(1844)、《邏輯的數學分析：論一種演繹推理的演算法》(1847)、《思維規律、邏輯與機率的數學理論》(1854)。
基本介紹
- 中文名：初等積
- 外文名：elementary product
- 領域：數學
- 學科：代數
- 別稱：積範式
- 性質：特殊的布爾表達式
概念,布爾表達式,布爾代數,布爾元,命題代數,人物簡介,
概念
初等積(elementary product)亦稱積範式或單項式。一種特殊的布爾表達式。它由有限個布爾變元或變元的補之積所構成。可寫成
的形式，其中
或為xi或為xi'，而T為某有限指標集。在命題代數中，初等積又稱為小項或簡單合取。例如x，x'y，x·y'·z‘均為初等積。初等積是命題代數中簡單合取概念的推廣。在初等積中，如至少有一個變元及其補同時出現，則此初等積恆等於0。
布爾表達式
簡稱布爾公式。布爾代數研究的基本對象。是布爾代數〈B，+，·，′，0，1〉中按如下遞歸定義的符號串：
1.B中任何元素是布爾表達式；
2.任何變元是布爾表達式；
3.若h1和h2是布爾表達式，則(h1+h2)，(h1·h2)和(h1′)也是布爾表達式；
4.只有通過有限次運用規則1，2與3所構成的符號串才是布爾表達式.人們將含有n個相異變元x1，x2，…，xn的布爾表達式記為E(x1，x2，…，xn)，並稱為n元布爾表達式；
只有按定義中規則所得到的符號串才是布爾表達式，如h+，·h均不是布爾表達式。不同的布爾表達式可能確定同一個布爾函式，如x·(y+z)和(x·y)+(x·z)確定同一個布爾函式。
布爾代數
布爾代數是現代邏輯在早期形成階段的基礎理論部分，也稱邏輯代數。儘管它也包括若干命題邏輯的內容，但是它總沒有現代命題邏輯那樣系統和完備。人們知道，代數是關於運算規則及運算展開的學說。代數與算術不同之處在於它不是對具體數字的運算，而是對符號的運算。如果說普通代數的符號運算還可以只理解成代替各種數字運算，那么邏輯代數的符號運算就不可以這樣狹義理解了，它的符號運算代替著更廣泛、更一般的各種元素運算(如數字、真值、命題、集合、開關等等)。邏輯代數的創始人是英國數學家喬治·布爾。布爾認為，由於代數理論的有效性並不依賴於對使用符號所作的解釋，而只依賴於符號的結合規律，同時邏輯關係和某些數學運算有類似的性質，如邏輯的概念、命題、推理與代數的字母、方程、變換有某種形式的相似，概念、命題的析取與合取跟數量的加法與乘法有某種相似之處，因此，如果將符號的解釋推廣到更廣泛的邏輯領域，就可以構造成一個思維的演算。邏輯代數就是邏輯史上由布爾第一個提出的邏輯演算。在邏輯代數中，不做任何具體解釋的最抽象的理論體系是布爾代數，它的運算又稱作布爾運算。進一步，將布爾代數給以具體套用和解釋，比如將布爾運算解釋成真值運算，就成為真值代數；解釋成命題運算，就成為命題代數;解釋成詞項運算，就成為類邏輯代數；解釋成集合運算，就成為集合代數;解釋成電路運算，就成為開關代數；解釋成事件運算，就成為機率代數，等等。人們將上述的具體套用和解釋也有統稱作布爾代數的，但是這裡也要有所區別。
布爾元
布爾代數論域中元素的簡稱。常以字母a代表布爾代數論域B中的某個固定元素，且稱a為布爾常元或布爾定元；而以x代表B中任意一個元素，稱x為布爾變元。
命題代數
命題代數(propositional algebra)一種特殊的布爾代數。設W是某一語言中所有命題構成的集合，且設T與F分別為真、假命題，∨，∧，分別為命題的析取，合取，否定聯結詞，則布爾代數〈W，∨，∧，，T，F〉就是命題代數。
人物簡介
布爾是英國著名的數學家、邏輯學家。其主要著作有《關於分析中的一個普遍方法》(1844)、《邏輯的數學分析：論一種演繹推理的演算法》(1847)、《思維規律、邏輯與機率的數學理論》(1854)。布爾對建立數理邏輯有重要貢獻，由於他套用代數方法研究命題、推理等思維形式及其規律，創立了邏輯代數(亦稱布爾代數)。因此，使得邏輯演算方法，在邏輯史上第一次以現代形態顯示出來。布爾被認為是數理邏輯的奠基人之一。
布爾受萊布尼茨、哈密頓、德摩根等關於邏輯與數學相類似的觀點影響，採用外延的方法研究形式邏輯思想的傳播。他的指導思想是：邏輯關係與某些數學運算相似，代數系統可能有多種解釋，把解釋推廣到邏輯領域，就能構成一種思維形式的演算方法。演繹分析的有效性不依賴於所使用的符號的解釋而依賴於符號的組合律。由此，布爾建立了兩種代數：類的代數和命題代數。他在構造邏輯的代數演算時，使用了三種符號：①文字元號，如X，Y等代表作為我們概念的主項的事物;②運算符號，如+、-、×等代表思維的運算，借這些運算，事物的概念被結合、分解，以形成新的概念;③表示同一關係的符號，如“=”。運用這些符號形成一種形式推理法(邏輯演算)。布爾提出七個初始公式作為演算的出發點，規定了進行形式演算的程式、方法和規則。這種演算被他稱作符號推理，演算方法的規則稱作符號推理規則，在他的《思維規律》一書中詳細探討了這些原則。
布爾對其構造的邏輯系統給出了四種解釋：一種是類的演算，有兩種命題演算，還有一種機率演算。他的邏輯代數的成果極大地推動了現代邏輯的發展。如布爾的方法可以化歸於一種經驗的法則(相加、相乘等)，允許機械處置，因此耶芳斯於1869年根據布爾演算方法，首先成功制出一架邏輯計算機。但是布爾代數作為一種邏輯演算方法尚不成熟，存在一定的局限性，如布爾分析的命題囿於主謂式結構，而未涉及其他類型的命題等。
