分離常數法

分離常數法在含有兩個量（一個常量和一個變數）的關係式（不等式或方程）中，要求變數的取值範圍，可以將變數和常量分離（即變數和常量各在式子的一端），從而求出變數的取值範圍。還有一種常見的套用方式是在分式型函式中，當分式的分子和分母次數相同時，常可分離出一個常數來，也稱之分離常數法。

基本介紹

• 中文名：分離常數法
• 外文名：Separate constant method
• 所屬學科：數學

概念

對於求分式型的函式，常採用拆項使分式的分子為常數，有些分式函式可以拆項分成一個整式和一個分式(該分式的分子為常數)的形式，這種方法叫分離常數法。分離常數法常用於求函式最值或值域等，在數列求和中也常用到，可參考例題理解。

還有一種分離常數法的套用方式是在含有兩個量（一個常量和一個變數）的關係式（不等式或方程）中，要求變數的取值範圍，可以將變數和常量分離（即變數和常量各在式子的一端），可參考“適用條件”中舉的例子和例題6。

適用情況舉例

（1）分離常數法適用於解析式為分式形式的函式，如求的值域，則可分離常數為，進而求值域，當分式的分子和分母次數相同時，常可分離出一個常數來，稱之分離常數法。

（2）在含有兩個量（一個常量和一個變數）的關係式（不等式或方程）中，要求變數的取值範圍，可以將變數和常量分離（即變數和常量各在式子的一端），從而求出變數的取值範圍，如：已知函式在區間（-1,1）上有唯一的零點，求a的取值範圍。可轉化為“關於x的方程在（-1，1）上有唯一的零點”，即“函式的圖像有唯一公共點”。這道題就有一個常量a，一個變數x，這裡就將常量a分離出來進而可以求。可參考例題6。

分式型情況

求分式函式的值域

例1 設x小於等於1，求函式的值域。

解： 由已知有

由得

函式的值域為，

求分式函式的最值

例2 設求函式的最小值。

解：

由已知有

若且唯若即時，等式成立，所以當x=1時，取得最小值9。

在函式奇偶性中的套用

例3 設函式的最大值為M，最小值為m，則M+m為多少？

解：

令易得為奇函式，其圖像關於原點對稱，所以最大值與最小值之和為零，所以M+m=2。

變式：若關於x的函式的最大值為M，最小值為N，且M+N=4，則實數t的值為多少？（答案為2）

評註： 題目中出現最大值與最小值之和等問題，可轉化為對稱性問題解決，通過分離常數後出向奇函式，結合圖像的對稱性可以迅速解題。

用於函式圖像的作圖

例4 方程的實根共有幾個？

解： 本題可轉化為求圖像交點個數。將平方整理得由於所欲圖像為x軸上方的一個半圓。又所以圖像是由圖像向右、向下平移一個單位後得到的，其對稱中心為，易得兩圖像交點個數為1。

圖1

評註：形如函式都可以通過分離常數進行處理，將之轉化為反比例函式，再通過平移或變換得到。有了圖像就可以使很多數形結合的問題容易得到解決。

在數列中的套用

例5 設求數列的前n項和S_n。

_解：

評註： 通過對an分離常數後，出現典型的裂項求和。

常量與變數分離情況

例6 設集合是單元素集，求實數a的取值範圍。

這是某資料上的一道例題，給出的答案是．此答案也是錯誤的．若用分離常’數法求解就不易出錯。

解： 題意即關於的方程組有唯一一組解，也即關於x的方程

在（0,2）上有唯一解，得關於的方程組

有唯一解。

由圖2得，或，即或這就是所求a的取值範圍。