凸數列

凸數列(convex sequence)是定義在自然數集上的凸函式。指滿足條件a_n≤1/2(a_n-1+a_n+1) (n=1，2，…)的實數列{an}^∞_n=0。在幾何上，這意味著xy平面上以點(n，a_n)為頂點的折線向下方凸出，當f(x)是區間[0，+∞)上的凸函式時，{f(n)}^∞_n=0是凸數列。{an}^∞_n=0是凸數列的充分必要條件是二階差分Δ²_an≥0(n=0，1，2，…)，這裡Δ²_an=Δa_n+1-Δa_n，Δa_n=a_n+1-a_n。凸數列{a_n}有界時必收斂，並且lim_n→∞ nΔ a_n=0， lim_n→∞a_n=a₀-∑^∞_n=0(n+1)Δ²a_n。

基本介紹

• 中文名：凸數列
• 外文名：convex sequence
• 所屬學科：數學
• 簡介：在自然數集上的凸函式

凸數列的定義

定義1 若實數列{a_k}(有限的或無限的滿足條件

或k≥2，則稱{a_k}是一個凸數列(或凸序列)。若上述不等式反向，則稱數列{a_k}是一個凹數列。

定義2 若非負實數列{a_k}(有限的或無限的滿足條件

或k≥2，則稱{a_k}是一個對數凸數列。若上述不等式反向，則稱數列{a_k}是一個對數凹數列。

相關性質定理

定理1 若{a_k}是一個凸序列，則{A_k}也是一個凸序列，其中

凸數列是凸函式的離散形式，下述三個定理反映了二者的關聯。

定理2 設{a_k}是凸數列，f是遞增的凸函式，則{f(a_k)}也是凸數。

由題設有

即{f(a_k)}也是凸數列。

定理3 設φ是R₊₊上的凸函式，則{φ(k)}是凸數列。

如果{a_k}是凸序列，則函式φ是[1，∞)上的凸函式，這裡φ的圖象是以(k，a_k)(k∈N)為頂點的折線。

定理4 設{a_k}是凸數列，是Ω上的連續的遞增的凸函式。定義函式如下妒

則是[1，k]上的連續凸函式，若是Ω的連續的遞減的凹函式，則是[1，k]上的連續凹函式。

定理5數列{a_k}是凸數列的充要條件為：對任意四個非負整數m，n，p，q，當p<m<q，p<n<q，且m+n=p+q時，恆有

注1 條件p<m<q，p<n<q可放寬為p≤m≤q，p≤n≤q.從控制不等式的觀點來看，條件p≤m≤q，p≤n≤q，且m+n=p+q意味著(m，n)(p，q)。

很自然想到上述結果是否可推廣到n維情形?石煥南，李大矛建立了如下結果：

定理6 設n≥2，數列{a_k}是凸數列的充要條件為：，若，恆有

定理7 若數列{a_k}是增的凸數列，對於任意，若，則