基本介紹
- 中文名:凸數列
- 外文名:convex sequence
- 所屬學科:數學
- 簡介:在自然數集上的凸函式
凸數列的定義,相關性質定理,
凸數列的定義
定義1 若實數列{ak}(有限的
或無限的
滿足條件
![](/img/f/adc/fa8ba2d2dc531548022d79d26b4a.jpg)
![](/img/6/e38/b098ee2abb353936b797fed894d2.jpg)
![](/img/8/aa8/fb35ca642b336a71cb20a6765e77.jpg)
![](/img/4/d88/1f7edf0a0a50691d429b370e9e2b.jpg)
定義2 若非負實數列{ak}(有限的
或無限的
滿足條件
![](/img/f/adc/fa8ba2d2dc531548022d79d26b4a.jpg)
![](/img/6/e38/b098ee2abb353936b797fed894d2.jpg)
![](/img/d/168/8d2b8511fda8ffe40419959847d0.jpg)
![](/img/4/d88/1f7edf0a0a50691d429b370e9e2b.jpg)
相關性質定理
定理1 若{ak}是一個凸序列,則{Ak}也是一個凸序列,其中![](/img/3/2a9/85b85632812ab14f96b72b3b6af0.jpg)
![](/img/3/2a9/85b85632812ab14f96b72b3b6af0.jpg)
凸數列是凸函式的離散形式,下述三個定理反映了二者的關聯。
定理2 設{ak}是凸數列,f是遞增的凸函式,則{f(ak)}也是凸數。
由題設有
![](/img/7/de0/26188805b5cb67243a026723705b.jpg)
定理3 設φ是R++上的凸函式,則{φ(k)}是凸數列。
如果{ak}是凸序列,則函式φ是[1,∞)上的凸函式,這裡φ的圖象是以(k,ak)(k∈N)為頂點的折線。
定理4 設{ak}是凸數列,
是Ω上的連續的遞增的凸函式。定義函式
如下妒
![](/img/7/316/b0ac2416f3e21b71a9b932bc0738.jpg)
![](/img/e/bfe/604d9bba8bf42634b8a618b4e121.jpg)
![](/img/0/31b/161fc36dc22a51f2cff12f2fae2d.jpg)
則
是[1,k]上的連續凸函式,若
是Ω的連續的遞減的凹函式,則
是[1,k]上的連續凹函式。
![](/img/2/dc6/708d26e537bd99d10da6c9a84d54.jpg)
![](/img/0/8de/3c884068de5f67253fd2b61c6d69.jpg)
![](/img/2/dc6/708d26e537bd99d10da6c9a84d54.jpg)
定理5數列{ak}是凸數列的充要條件為:對任意四個非負整數m,n,p,q,當p<m<q,p<n<q,且m+n=p+q時,恆有
![](/img/7/15d/319f7e592b2dcaf57ca0ac16a3c2.jpg)
注1 條件p<m<q,p<n<q可放寬為p≤m≤q,p≤n≤q.從控制不等式的觀點來看,條件p≤m≤q,p≤n≤q,且m+n=p+q意味著(m,n)
(p,q)。
![](/img/0/b68/4f7d9da195e4d90461e6ccd0a4d5.jpg)
很自然想到上述結果是否可推廣到n維情形?石煥南,李大矛建立了如下結果:
定理6 設n≥2,數列{ak}是凸數列的充要條件為:
,若
,恆有
![](/img/9/740/25d746fcb42fe893a3c7600e6e40.jpg)
![](/img/f/2d1/151cca0da53d26ed0e104b4f8558.jpg)
![](/img/0/488/be4dcbeab8d7bdbd7fa6afd00880.jpg)
定理7 若數列{ak}是增的凸數列,對於任意
,若
,則
![](/img/b/0c7/b60a9105a35682f52851b08ee9df.jpg)
![](/img/b/868/3e09e927da3710bcc5ae99cea89a.jpg)
![](/img/1/f3a/176fb66c83598772c1767e79b374.jpg)