《具有間斷點的振動系統的逆譜問題》是依託陝西師範大學，由魏廣生擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：具有間斷點的振動系統的逆譜問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：魏廣生
- 依託單位：陝西師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目立足於數學，結合相關的物理現象，從全新的觀點出發, 對具有間斷點的振動系統逆譜問題進行系統和深入的研究. 具體內容有：(1) 建立具有間斷點的振動系統新的微分算式, 形成自伴微分運算元並刻畫譜的特性. (2) 研究具有限個間斷點的振動系統逆譜問題，包括密度函式唯一確定和重構；實現Hochstadt的半逆譜定理. (3) 考慮定義在整個實軸和半實軸上具有間斷點的振動系統的逆譜和逆散射問題，建立該問題的Borg-Marchenko定理，並研究離散譜數據缺失的條件. (4) 研究帶勢函式的弦方程的逆譜問題. 解決勢函式和密度函式的存在性、唯一性以及重構問題, 以建立該問題的Borg定理. (5) 研究Jacobi運算元, 非線性Sturm-Liouville運算元，Dirac方程等振動系統的逆譜問題. 上述研究內容將進一步豐富和拓展微分運算元理論，為解決相關物理問題提供理論基礎.
結題摘要
逆譜問題在地球物理、量子力學、氣象學、電子學等領域有著十分廣泛而直接的套用,也是求解數學物理中非線性發展方程的有效途徑之一。本項目立足於數學理論，結合相關的物理現象，從新的觀點出發，對具有間斷點的振動系統逆譜問題進行系統和深入的研究。經過四年的研究，我們取得了以下重要結果。 考慮閉區間上內部點條件含譜參數的非連續Sturm-Liouville (SL)問題。通過構造適當的Hilbert空間，使其在該空間上生成自伴運算元，探明其譜的性質，為解決逆問題奠定了基礎。給出了譜信息唯一確定運算元的結論，即Borg兩組譜和Marchenko譜數據唯一性定理。進而，利用譜映射方法，給出了勢函式、邊界條件以及內部點條件參數的重構算法。研究混合譜數據對應的逆譜問題，建立了該問題的Hochstadt半逆定理以及Gesztesy-Simon唯一性定理等。此外，考慮逆傳輸特徵值問題，給出了所有特徵值和部分實特徵值所對應的規範常數，在不同環境下，唯一確定勢函式的結論。該結果圓滿回答了Aktosun和Cakoni等人提出的公開問題。 基於非連續SL問題，建立新的Borg兩組譜定理，即用原SL問題的譜和一個非連續問題的譜來確定勢函式。按照不同類型的界麵條件，分別給出了唯一確定勢函式的條件；在較弱的條件下，證明最多有有限多個勢函式與兩組譜對應。 研究以特徵函式結點為譜數據的逆結點問題。通過建立特徵值與勢函式Lebesgue點之間的關係，提出了解決逆結點問題的新方法，並給出了稠密結點集唯一確定勢函式的非超定條件。進一步將此方法運用於非連續SL問題，完全解決了它的逆結點問題。 對於勢函式在內部子區間已知的情形，藉助於內部譜數據，給出了部分特徵值唯一確定勢函式以及邊界條件的結論。對於定義在半實軸上的奇異SL微分運算元，當勢函式屬於Bargmann- Jost- Kohn類時，我們證明散射矩陣和勢函式在有限區間上的信息可唯一確定勢函式，此結論可以使沒有物理意義的規範常數缺失。 除上述對於SL運算元的結論外，課題組還研究了Jacobi 運算元, SL微分束和Dirac微分運算元等振動系統相應的逆譜問題。
