向量p， q∈R.若滿足條件(p)Aq=0， 則稱p和q關於A是共軛方向， 或稱p和q關於A共軛.一般地， 對於非零向量組p1， p2， …， pn∈R，若滿足條件：(p)Ap=0(i≠j，i，j=1，2，…，n)，則稱該向量組關於A共軛。共軛方向，即共扼向量的方向。
基本介紹
- 中文名：共軛方向
- 外文名：conjugate direction
- 類別：數學
- 基礎：共軛
- 算法：共軛方向法
- 套用：數學、物理等
基本概念,定義,數學表達,共軛方向法,
基本概念
兩向量間的一種特殊關係.設A為n×n對稱正定矩陣，向量p，p∈R.若滿足條件(p)Ap=0，則稱p和p關於A是共軛方向，或稱p和p關於A共軛.一般地，對於非零向量組p，p，…，p∈R，若滿足條件：(p)Ap=0(i≠j，i，j=1，2，…，n)，則稱該向量組關於A共軛。
設A是n×n對稱正定矩陣，若有兩個n維向量P和Q，滿足
PAQ=0
則稱向量P和Q是關於A共軛的，或稱P、Q是A共軛方向。
定義
設A為n階實對稱正定矩陣，如果有兩個n維向量S1和S2滿足
則稱向量S1與S2對於矩陣A共軛。如果A為單位矩陣，則式(1)即成為S1S2，這樣兩個向量的點積（或稱內積）為零，此二向量在幾何上是正交的，它是共軛的一種特例。
設A為對稱正定矩陣，若一組非零向量S1，S2，…Sn滿足
SiASj=0 （i≠j） （2）
則稱向量系Si（i=1,2，…n）為關於矩陣A共軛。
共扼向量的方向稱為共軛方向。
數學表達
設A是n×n對稱正定矩陣，若有兩個n維向量P和Q，滿足
PAQ=0
則稱向量P和Q是關於A共軛的，或稱P、Q是A共軛方向。
對m個n維向量P，P，…，p，(m<n)，滿足
則稱P，P，…，P是A共軛的。
如果A=I (單位矩陣)，則上式變為
即向量P，P，…，P相互正交。由此可見正交是共 軛的特殊情形; 共軛是正交概念的推廣。
共軛方向法
由對稱正定矩陣的特徵向量所組成的一組方 向。設有n×n階對稱正定矩陣Q，其共軛方向為 {d，=1，2，…，m}，則有
(d)Qd=0，i≠j，i，j=1，2，…，m
也稱這m個向量對Q共軛。對於n元正定二次目 標函式，依次沿n個共軛方向作一維搜尋，則至多 在n步內可獲得最優點，利用這一性質可以構造一 類無約束非線性規划算法——共軛方向法。
以一組共軛方向作為搜尋方向來求解無約束非 線性規劃問題的一類下降算法。是在研究尋求具有 對稱正定矩陣Q的n元二次函式
f(x)=1/2xQ x+bx+c
最優解的基礎上提出的一類梯度型算法，包含共軛 梯度法和變尺度法。根據共軛方向的性質，依次沿 著對Q共軛的一組方向作一維搜尋，則可保證在至 多n步內獲得二次函式的極小點。共軛方向法在 處理非二次目標函式時也相當有效，具有超線性的 收斂速度，在一定程度上克服了最速下降法的鋸齒 形現象，同時又避免了牛頓法所涉及的海色(Hesse) 矩陣的計算和求逆問題。對於非二次函式，n步搜 索並不能獲得極小點，需採用重開始策略，即在每進 行n次一維搜尋之後，若還未獲得極小點，則以負 梯度方向作為初始方向重新構造共軛方向，繼續搜 索。
