公共代表系(system of common representatives)是代表系的一種。設T集有兩個分拆：T=A1∪A2∪…∪Am，T=B1∪B2∪…∪Bm，其中Ai，Bj都不是空集(i，j=1，2，…，m)，若有T的一個m子集E滿足：Ai∩E≠∅，Bj∩E≠∅(i，j=1，2，…，m)，則這2m個非空交集都是1集，這樣的E稱為上面兩個分拆的公共代表系，簡稱SCR，上述兩個分拆有SCR的充分必要條件是：對任一整數k，1≤k≤m，以及對{1，2，…，m}的任一k子集{i1，i2，…，ik}，並集Ai1∪Ai2∪…∪Aik至多包含m個子集B1，B2，…，Bm中的k個。
基本介紹
- 中文名：公共代表系
- 外文名：system of common representatives
- 所屬學科：數學（組合學）
- 簡介：代表系的一種
- 簡記：SCR
基本介紹,公共代表系的存在性,
基本介紹
設集合T分拆為m個子集
又有T的第二種分拆，
若存在T的一個m元子集E，使
公共代表系的存在性
關於SCR存在性，有下列充分必要條件。
定理1 集合T的兩個分劃(1)和(2)具有SCR的充要條件是：對任一整數k=1，…，m以及任意k個子集
，並集
至多包含k個子集Bj(j=1，…，m)。
證明 對T的兩個分拆(1)和(2)，我們引進它們的相交矩陣的概念。
如果有{1，2，…，m}上的兩個置換σ和τ，使
定義相交矩陣C=(Cij)，C是m階非負整數方陣，其中
且ρc=m不存在(m-k)×(k+1)零子矩陣(0≤k≤m-1)不存在m-k個Ai,它們的並集與k+1個Bj不交不存在k個Ai,它們的並集包含k+1個Bj任意k個Ai的並集至多包含k個Bj,k = 1,2,..,m，這就證明了定理。證畢。
系2 按定理1的條件及記號，T的兩個分拆(1)和(2)共有per C個SCR。
證明 C的m個非零元
,i = 1,2,..,m,可產生
個SCR。證畢。
系3 若集T的兩個分拆(1) 和(2),每個Ai和每個Bj都是r元子集，則兩分拆必有SCR。
證明 這是定理1 的特例。
至1996年，尚不知道三個集族有公共SCR存在的條件，甚至沒有一個接近的猜想。
作為定理1的一個套用，我們有
定理4 設G是一個不可交換的有限群，H為G之子群，並設
