八次函式

八次函式是形如y=ax^8+bx^7+cx^6+dx^5+ex^4+fx^3+gx^2+hx+i (a≠0)的函式，稱為八次函式，屬於高次函式，x為自變數，y為x的函式。

基本介紹

• 中文名：八次函式
• 外文名：Eighth-order function
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：天文學，數學
• 適用領域範圍：天體旋進周率

簡介

八次函式是高次函式的一類，由於其複雜程度，在實際的運用中出現機會很少。即使在函式的泰勒級數展開中也很少展開到八次。但是其性質的討論足以讓我們感受到數學的美妙，鍛鍊我們的思維能力。它沒有一般性的零點解法，或者說，一元八次方程不存在一般性的求解公式。事實上當方程最高次數大於等於5時，不存在這樣的公式。這最早由阿貝爾和伽羅瓦完成證明。

性質

對稱性

八次函式的對稱性並不具有一般性，對於它的係數的不同取值會出現不同的結果。它的對稱性一般藉助現有的作圖工具或軟體直接觀察。例如八次函式：

由圖可見，直線x=0是它的對稱軸。但是由於係數選取的特殊性，它在給定作圖的區間內的圖像十分平緩，這並不影響我們尋找它的一條對稱軸方程。

按照八次項係數到常數項的順序，將其分別取作

{0.5，-0.6，-1.2,9，-6.7，-30,100，-1000}

獲得函式圖像如右圖。可以觀察到圖像的變化，這在八次甚至更高次數的函式中更能體現。此時它不具備對稱性。

局部極值

由於八次函式是多個冪函式乘上一個給定的係數之後的和，這些冪函式的最高次數是8。我們引入和式來改寫八次函式即：

我們對y求導，得到y'，根據冪函式的求導法則，我們能得到的是：

根據冪函式的根的存在性判定，我們知道y'至多有七個零點，但這七個零點的解析解不能獲得，但我們可以找到近似解。事實上，前面給出的兩個圖像也是運用類似的方法做出局部極值的位置。找到這樣的零點後，帶入到原方程中我們得到的就是在八次函式y上的局部極值點。這樣的結論是顯然的。所以有：

n次函式至多存在n-1個局部的極值。