《兩組分玻色-愛因斯坦凝聚中的一類變分問題研究》是依託武漢理工大學，由曾小雨擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：兩組分玻色-愛因斯坦凝聚中的一類變分問題研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：曾小雨
- 依託單位：武漢理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
隨著玻色-愛因斯坦凝聚（BEC）實驗的不斷深入，物理學家將兩種玻色子囚禁在外勢阱中實現了兩組分冷原子氣體的BEC，並觀測到單組分BEC中未曾出現的物理現象。該實驗相關的理論研究備受物理學家的關注，其中涉及許多困難的數學問題，也吸引了數學家的廣泛興趣。本項目擬研究源於兩組分BEC理論研究的一類約束變分問題，這類問題含有多個參數並具有質量臨界的特性。我們擬研究的主要內容包括：對適當的位勢函式，建立該類約束變分問題極小可達的充分必要條件，即希望確立相應參數的一個臨界值，若且唯若參數在臨界範圍內時該類變分問題才存在可達元；當參數趨於臨界值時，利用爆破分析技巧研究可達元的爆破性質，並針對幾類特殊的位勢函式，探討位勢函式極小值點的局部性態對可達元爆破率及爆破位置的影響。這些問題的研究不僅有助於我們加深對兩組分BEC物理現象的理解，而且可以促進非線性泛函分析中諸如集中緊性原理、爆破分析等理論的新套用。
結題摘要
自1995年玻色-愛因斯坦凝聚（BEC）首次實現以來，物理學家開展了更加系統深入的BEC實驗，並發現了一些新的物理現象。BEC的理論研究中涉及許多困難的數學問題，也吸引了數學家的廣泛興趣。本項目主要針對兩類與BEC相關的變分問題展開研究，討論了變分問題可達元的存在性、集中性以及局部唯一性等性質。進一步，我們還討論了相對論Hartree方程以及擬線性Schrodinger等方程的變分泛函可達元（基態解）的存在性以及漸近行為。具體研究內容包括：（1）對源於兩組分BEC的變分問題，我們研究了可達元的存在性與多個參數之間的依賴關係，並通過精細的能量估計分析了可達元的漸近行為，同時我們還利用Pohozaev恆等式技巧研究了可達元的局部唯一性；（2）對源於單組分BEC的變分問題，我們在較為一般的位勢條件下證明了可達元的爆破現象，並針對完全退化位勢情形計算了可達元的爆破率；（3）對源於玻色星模型的相對論Hartree方程，我們利用Ekeland變分原理等辦法證明了位勢的衰減速度會影響基態解的存在性，並討論了基態解的質量集中現象，從數學角度解釋了大質量恆星凋亡時會發生質量坍塌現象；（4）討論了Schrodinger-Poisson方程以及擬線性Schrodinger等方程基態解的存在性與漸近行為。 通過本項目的實施，我們歸納整理了一套研究含質量臨界項的泛函約束極小化問題可達元存在性與漸近行為較為普適的方法，並將之套用到幾類重要的物理模型研究中，得到了一些新的數學結果，並從理論上解釋了一些物理現象。
