在謂詞邏輯中，全稱量化是嘗試形式化某個事物(邏輯謂詞)對於所有事物或所有有關的事物都為真的概念。結果的陳述是全稱量化後的陳述，我們在謂詞上有了全稱量化。在符號邏輯中，全稱量詞(典型的 "∀")是用來指示全稱量化的符號。
基本介紹
- 中文名：全稱量化
- 屬於：在謂詞邏輯中
- 包含：全稱量化後的陳述
- 用來：指示全稱量化的符號
概念,基礎理論,性質,否定,推理規則,
概念
在謂詞邏輯中，全稱量化是嘗試形式化某個事物(邏輯謂詞)對於所有事物或所有有關的事物都為真的概念。結果的陳述是全稱量化後的陳述，我們在謂詞上有了全稱量化。在符號邏輯中，全稱量詞(典型的 "∀")是用來指示全稱量化的符號。
基礎理論
假設你要說的是
2·0 = 0 + 0，以及 2·1 = 1 + 1，以及 2·2 = 2 + 2，等等。
對任意自然數 n，都存在 2·n = n + n。
這便是一個使用全稱量化的單一命題。
請注意，事實上該命題比原命題更精確。很明顯，“等等”一詞表示的是要包括所有的自然數、且除此之外不包括任何其它內容，但語言中並沒有明確地陳述這點，這便是“等等”一詞不能被形式地解釋的根本原因。
這個特定的例子中的命題是真值的，因為可以對 n 取任何自然數都使命題“2·n = n + n”成立。反之，命題“對任何自然數 n，都有 2·n > 2 + n”則是假值的，因為舉例來說，將其中的 n 用 1 來取代，就能得到假命題“2·1 > 2 + 1”。儘管對“大多數”自然數 n 來說，命題“2·n > 2 + n”都成立，但只要存在一個反例便足以舉證該全稱命題為假。
另一方面，“對任何合數n，都有 2·n > 2 + n”是真命題，因為所有的反例均不是合數。這說明了論域的重要性，其指定了 n 可以取哪些值。然而特別地須注意，如欲將論域限定為僅由滿足一特定謂詞的對象組成時，則對全稱量化來說，要使用一個邏輯條件來實現。例如，命題“對任何合數 n，都有“2·n > 2 + n”是邏輯等價於命題“對任何自然數 n，如果 n 為合數，則 2·n > 2 + n”的。這裡的“如果……則”結構指出了邏輯的條件限制。
在符號邏輯中，我們使用全稱量詞“∀”（一個倒置的無襯線體字母“A”）來說明全稱量化。從而，若命題P(n)陳述的是“2·n > 2 + n”，且N是自然數集的話，則
∀n∈N P(n) 表示的即是（假）命題
“對任何自然數集n，都有 n, 2·n > 2 + n”。
類似地，若命題 Q(n) 陳述的是 “n 為合數”，則
∀n∈N Q(n)→P(n)表示的是（真）命題
“對任何合數 n，都有 2·n > 2 + n”。 這裡給出一種僅用於表示全稱量化的特殊符號表示：
(n∈N) P(n)
默認情況下，圓括弧表示的是全稱量化。
性質
否定
注意到一個量化的命題函式的結果是一個命題；因此象命題一樣，量化的函式也可被否定。數學家和邏輯學家用來表示否定的符號是：￢。
舉例來說，定義 P(x) 為命題函式“x 已婚”；則對所有活人組成的論域 X，考慮全稱量化“對給定的任何活人 x，此人都已婚”：
∀x∈X P(n)
只用幾秒鐘的考慮就能證明這個命題無可改變地為假；於是我們可以切實地說：“並非都是這樣的情況，即：對給定的任何活人 x，此人都已婚”，或以符號記作：
￢∀x∈X P(n)
.
推理規則
推理規則是指由假設到結論的過程中證明一個邏輯步驟成立的規則。有若干推理規則利用了全稱量詞。
普遍例證(Universal instantiation)推定出的結論是這樣的：若已知命題函式普遍成立，則其必對論域中任何隨意給出的元素均成立。將此符號化地表示為
∀x∈X P(x) → P(c)
其中 c 是論域中可完全隨意確定的某個元素。
普遍概括(Universal generalization)推定出的結論是這樣的：若命題函式對論域中任何隨意給出的元素均成立，則其普遍成立。以符號表示為：對某個可隨意確定的 c，
P(c) → ∀x∈X P(x)
特別重要的是必須注意到，c 必須是完全隨意確定的；否則便不能遵循該邏輯：若 c 不是隨意確定的、而是論域中的一個特定元素，則 P(c) 僅說明蘊意著該命題函式的某個存在量化可成立。
