全偶，指全體偶數。全偶猜想，指全體偶數與素數的關係。
基本介紹
- 中文名：全偶猜想
- 涉及內容：偶數，素數
- 作者：四川省三台縣工商局：王志成
- 所屬學科：數學
全偶，指全體偶數。全偶猜想，指全體偶數與素數的關係。
涉及內容
1，偶數，能夠被2整除的數叫偶數。
2，素數，只能被1和自身數整除的整數，叫素數。
素數，也可以理解為：大於3的素數，是不能被小於或等於它根號以下的素數整除的數。
相關定理
令，任意數根號以下的素數為該數的小素數，有：
1，孿生素數定理：在自然數中，令大於2的任意整數為L，當L除以它的所有小素數的餘數，既不為0，也不餘2時，L必然與L-2必然組成相差2的孿生素數組。
2，偶數的素數對定理：令大於4的任意偶數為M，在M內的任意整數A（1≠A≠M-1），當A除以M的小素數的餘數，既不為0，也不與偶數除以M的小素數的餘數一一對應相同時，A必然組成偶數M的素數對。
因為，2除以小素數的餘數，都為2，即“1”中的“也不餘2”，也可以理解為“不與2除以小素數的餘數相同”，所以，這兩個定理是同一個定理。
最少剩餘素數的尋找方法
令，小素數為2，3，5，7，11，…，R，所有偶數除以這些小素數的不同餘數組合的種類為3*5*7*11*…*R種，那么，在R到R＾2之內，除以這些小素數的餘數都不為0的數為這之內的素數；既不餘0，也不與偶數除以這些小素數餘數相同的數的最少個數是多少呢？只要知道最少數，其它數必然大於或等於最少數。
如，小素數為2，3，5，7時，在7到49內有素數：
11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。
除以3餘1的有：13，19，31，37，43，為5個；
除以3餘2的有：11，17，23，29，41，47，為6個。
選擇偶數除以3餘2，刪除後剩餘5個素數。
在這5個素數中除以5餘數最多的為餘3，刪除這2個後，剩餘3個素數除以7的餘數各不相同，7刪除1個後，必然剩餘2個。即每一個小素數都刪除除以該小素數餘數最多的素數，最後剩餘的素數個數，必然是這期間剩餘素數最少的。
在R^2之內的最低剩餘素數個數表：
最 大的小 素數R：02，03，05，07，11，13，17，19，23，29，31,
R^2內最低剩餘素數：01，01，02，02，04，04，08，08，10，17，17,
最低剩餘數的增長與小素數的間隔有關，當小素數的間隔為相差2的孿生素數時，如這裡的5到7，11到13，17到19，29到31，最低剩餘素數沒有增長；當小素數間隔較大時，如7到11增加2個，13到17增加4個，19到23增加2個，23到29增加7個。
小素數中相差2的間隔越來越少，相差大於或等於4的間隔越來越多，決定了隨著R＾2的不斷增大，在R＾2內最低剩餘素數會不斷地，緩慢地增加。
涉及內容
1，偶數，能夠被2整除的數叫偶數。
2，素數，只能被1和自身數整除的整數，叫素數。
素數，也可以理解為：大於3的素數，是不能被小於或等於它根號以下的素數整除的數。
相關定理
令，任意數根號以下的素數為該數的小素數，有：
1，孿生素數定理：在自然數中，令大於2的任意整數為L，當L除以它的所有小素數的餘數，既不為0，也不餘2時，L必然與L-2必然組成相差2的孿生素數組。
2，偶數的素數對定理：令大於4的任意偶數為M，在M內的任意整數A（1≠A≠M-1），當A除以M的小素數的餘數，既不為0，也不與偶數除以M的小素數的餘數一一對應相同時，A必然組成偶數M的素數對。
因為，2除以小素數的餘數，都為2，即“1”中的“也不餘2”，也可以理解為“不與2除以小素數的餘數相同”，所以，這兩個定理是同一個定理。
最少剩餘素數的尋找方法
令，小素數為2，3，5，7，11，…，R，所有偶數除以這些小素數的不同餘數組合的種類為3*5*7*11*…*R種，那么，在R到R＾2之內，除以這些小素數的餘數都不為0的數為這之內的素數；既不餘0，也不與偶數除以這些小素數餘數相同的數的最少個數是多少呢？只要知道最少數，其它數必然大於或等於最少數。
如，小素數為2，3，5，7時，在7到49內有素數：
11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。
除以3餘1的有：13，19，31，37，43，為5個；
除以3餘2的有：11，17，23，29，41，47，為6個。
選擇偶數除以3餘2，刪除後剩餘5個素數。
在這5個素數中除以5餘數最多的為餘3，刪除這2個後，剩餘3個素數除以7的餘數各不相同，7刪除1個後，必然剩餘2個。即每一個小素數都刪除除以該小素數餘數最多的素數，最後剩餘的素數個數，必然是這期間剩餘素數最少的。
在R^2之內的最低剩餘素數個數表：
最 大的小 素數R：02，03，05，07，11，13，17，19，23，29，31,
R^2內最低剩餘素數：01，01，02，02，04，04，08，08，10，17，17,
最低剩餘數的增長與小素數的間隔有關，當小素數的間隔為相差2的孿生素數時，如這裡的5到7，11到13，17到19，29到31，最低剩餘素數沒有增長；當小素數間隔較大時，如7到11增加2個，13到17增加4個，19到23增加2個，23到29增加7個。
小素數中相差2的間隔越來越少，相差大於或等於4的間隔越來越多，決定了隨著R＾2的不斷增大，在R＾2內最低剩餘素數會不斷地，緩慢地增加。
這一規律為什麼成立，我們從以下兩個方面來看：
1、令大於4的任意偶數為M，√M≈R，令2到R中的任意整數為X，在M之內能被X整除的數為M/X個，我們把這些數視為含X的合數；令M/X余C的數為D，則M-D為含X的合數，即，D也不能組成偶數M的質數對，那么，M/X余C的數也為M/X個。當偶數能被X整除時，這兩種數為M/X個，剩餘（X-1）M/X個；當M不能被X整除時，這兩種數為2M/X個，剩餘(X -2)M/X個。
當我們從2開始依次刪除這些數時，質數刪除後，含質數的合數是不能再刪除的，我們令偶數除以2到R的所有奇質數都不能整除，於是，在M內的剩餘質數為：
（1/2）M*（1/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）*（11/13）*…*（R-2）/R（個）
因，（1/3）*（3/5）*（5/7）*（7/9）*（9/11）*（11/13）*…*（R-2）/R=1/R，增加奇合數的刪除。
又因，M≈R*R，M≥R*R，我們把這兩個式子代入上式，於是上式變為R/2個，計算數是平均數，最低剩餘質數小於平均數是正常現象。
從計算式可以看出：當R與R’相差為2時，最低剩餘質數應該增長，但其增長不到1，所以不降低正確；當R與R’相差大於2時，最低剩餘質數必然增長也正確。
2、上面在R*R內，檢測除以R之內質數的餘數，既不為0，也不與所有偶數中的任意一個偶數除以這些質數的餘數一一對應相同的最低剩餘質數，這是一項獨立的檢測，它不受其實任何因素的影響，所以，符合它自身的特有規律也是正確的。
最少剩餘素數的使用說明
如，表中的最大小素數為11時，11^2內最低剩餘素數為4。
最大小素數為11，表明小素數為2，3，5，7，11。因2*3*5*7*11=2310，在2310內有1155個偶數，它們除以小素數2，3，5，7，11的餘數組合完全不同，它們代表所有偶數為1155種，每一個偶數代表一種偶數，如偶數24，代表24+2310N這一種偶數，這一種偶數除以小素數的餘數組合為：24/2餘0，24/3餘0，24/5餘4，24/7餘3，24/11餘2。即，所有偶數除以小素數2，3，5，7，11的不同餘數組合只有1155種類型。
在大於11，小於11^2內的數，除以小素數2，3，5，7，11的餘數，既不為0，也不與所有偶數中的任意一個偶數除以這些小素數餘數一一對應相同的數，最低剩餘素數為4個。
1，因為，僅大於11的素數為13，即由大於11的素數組成的最小素數對為13+13=26，小於26的偶數為2到24，表明，在大於11，小於11^2內的數，除以小素數2，3，5，7，11的餘數，既不為0，也不與2到24中的任意一個偶數除以這些小素數餘數相同的數，不低於4個。
如，偶數為2時，在11到121內的數，除以小素數2，3，5，7，11既不為0，也不與2除以這些小素數餘數相同的數有：19，31，43，61，73，103，109，這些數都能與減去2的數組成相差2的孿生素數。因為，偶數2到24在大於11，小於11^2內的數都不能組成它們的奇素數對，所以，在這期間，相差這些偶數的素數組不低於4組。結果有7組，符合不低於4。
2，當偶數在121到169之間時，它們的小素數只有2，3，5，7，11，在11到121之內能夠組成這些偶數素數對的素數不低於4個。我們任意在這一段選擇一個偶數128，在11到121內的數，除以小素數2，3，5，7，11既不為0，也不與128除以這些小素數的餘數一一對應相同的數有：19，31，97，61，67，109，也不低於4個，這些數都能組成偶數128的素數對。因為，這些數都小於偶數，不存在減去偶數組成相差偶數的素數組，所以，能夠組成偶數素數對的素數個數為6個，符合不低於4個。
3，當偶數大於24，小於122時，如偶數為68時，在11到121之內的數，除以小素數2，3，5，7，11既不為0，也不與68除以這些小素數的餘數一一對應相同的數有：31，37，67，97，109。這些數在偶數之內的數，除了67對應自然數1外，都能組成偶數的素數對，大於偶數的數都能與減去68的數組成相差偶數的素數組。介於兩者之間偶數，能夠組成偶數素數對的素數個數，與能與減去偶數的數組成相差偶數的素數組的素數，合計不低於4個。結果為4個，符合不低於4。
由此得：
全偶猜想的具體內容
全偶猜想一： 當小素數為2，3，5，7，11，…，R時，在R＾2之內，除以小素數2，3，5，7，11，…，R的餘數，既不為0，也不與所有偶數中的任意一個偶數除以小素數2，3，5，7，11，…，R的餘數相同的數，必然存在。
如，表中的最大小素數為11時，11^2內最低剩餘素數為4。
最大小素數為11，表明小素數為2，3，5，7，11。因2*3*5*7*11=2310，在2310內有1155個偶數，它們除以小素數2，3，5，7，11的餘數組合完全不同，它們代表所有偶數為1155種，每一個偶數代表一種偶數，如偶數24，代表24+2310N這一種偶數，這一種偶數除以小素數的餘數組合為：24/2餘0，24/3餘0，24/5餘4，24/7餘3，24/11餘2。即，所有偶數除以小素數2，3，5，7，11的不同餘數組合只有1155種類型。
在大於11，小於11^2內的數，除以小素數2，3，5，7，11的餘數，既不為0，也不與所有偶數中的任意一個偶數除以這些小素數餘數一一對應相同的數，最低剩餘素數為4個。
1，因為，僅大於11的素數為13，即由大於11的素數組成的最小素數對為13+13=26，小於26的偶數為2到24，表明，在大於11，小於11^2內的數，除以小素數2，3，5，7，11的餘數，既不為0，也不與2到24中的任意一個偶數除以這些小素數餘數相同的數，不低於4個。
如，偶數為2時，在11到121內的數，除以小素數2，3，5，7，11既不為0，也不與2除以這些小素數餘數相同的數有：19，31，43，61，73，103，109，這些數都能與減去2的數組成相差2的孿生素數。因為，偶數2到24在大於11，小於11^2內的數都不能組成它們的奇素數對，所以，在這期間，相差這些偶數的素數組不低於4組。結果有7組，符合不低於4。
2，當偶數在121到169之間時，它們的小素數只有2，3，5，7，11，在11到121之內能夠組成這些偶數素數對的素數不低於4個。我們任意在這一段選擇一個偶數128，在11到121內的數，除以小素數2，3，5，7，11既不為0，也不與128除以這些小素數的餘數一一對應相同的數有：19，31，97，61，67，109，也不低於4個，這些數都能組成偶數128的素數對。因為，這些數都小於偶數，不存在減去偶數組成相差偶數的素數組，所以，能夠組成偶數素數對的素數個數為6個，符合不低於4個。
3，當偶數大於24，小於122時，如偶數為68時，在11到121之內的數，除以小素數2，3，5，7，11既不為0，也不與68除以這些小素數的餘數一一對應相同的數有：31，37，67，97，109。這些數在偶數之內的數，除了67對應自然數1外，都能組成偶數的素數對，大於偶數的數都能與減去68的數組成相差偶數的素數組。介於兩者之間偶數，能夠組成偶數素數對的素數個數，與能與減去偶數的數組成相差偶數的素數組的素數，合計不低於4個。結果為4個，符合不低於4。
由此得：
全偶猜想的具體內容
全偶猜想一： 當小素數為2，3，5，7，11，…，R時，在R＾2之內，除以小素數2，3，5，7，11，…，R的餘數，既不為0，也不與所有偶數中的任意一個偶數除以小素數2，3，5，7，11，…，R的餘數相同的數，必然存在。
見前面的最低剩餘素數表及說明，也可以這樣進行驗證：令兩個任意小素數中最大的小素數為R，R′，當R′-R=2時，在R′到R′＾2之內的最低剩餘素數不低於R到R＾2之內的最低剩餘素數；當R′-R﹥2時，在R′到R′＾2之內的最低剩餘素數個數大於R到R＾2之內的最低剩餘素數個數。
全偶猜想二：當小素數為2，3，5，7，11，…，R時，令僅大於R的素數為E，在R到R＾2之內，相差偶數2到E+E-2的素數組都存在。隨著R的不斷擴大，奇素數與奇素數之間之差，逐漸過度到所有偶數，一個不缺；並且任意一個偶數之差一旦出現，就將永遠隨最低剩餘素數的增長而增長。
全偶猜想三： 針對大於4的任意偶數M，當M的小素數為小素數2，3，5，7，11，…，R時，在R到R＾2之內，除以小素數2，3，5，7，11，…，R的餘數既不為0，也不與M除以小素數2，3，5，7，11，…，R的餘數相同的數，存在於M之內時，除了1和M-1外，其餘的數必然組成偶數M的素數對。
全偶猜想二：當小素數為2，3，5，7，11，…，R時，令僅大於R的素數為E，在R到R＾2之內，相差偶數2到E+E-2的素數組都存在。隨著R的不斷擴大，奇素數與奇素數之間之差，逐漸過度到所有偶數，一個不缺；並且任意一個偶數之差一旦出現，就將永遠隨最低剩餘素數的增長而增長。
全偶猜想三： 針對大於4的任意偶數M，當M的小素數為小素數2，3，5，7，11，…，R時，在R到R＾2之內，除以小素數2，3，5，7，11，…，R的餘數既不為0，也不與M除以小素數2，3，5，7，11，…，R的餘數相同的數，存在於M之內時，除了1和M-1外，其餘的數必然組成偶數M的素數對。
即哥德巴赫猜想（1+1）與孿生素數猜想（1-1），屬於同一個猜想的兩個組成部分。
相關內容
1，等差合數數列，在整數遞增等差數列中，當首項能被公差或者公差分解出來的素因子整除時，該等差數列只有首項可以為素數，其餘項皆為合數。這種等差數列除了首項的素數外，其餘項為合數等差數列。
2，能夠產生素數的等差數列，在整數遞增等差數列中，當首項不能被公差或者公差分解出來的素因子整除時，這樣的等差數列能夠產生素數，並且永遠能夠產生素數。能夠產生素數，並不是說每一項都是素數。
3，等差素數數列，指連續項都是素數的項數。該數列存在的條件有兩個：一是能夠產生素數的等差數列；二是等差數列的公差能夠被連續小素數整除。即能夠被小素數2，3，5，7，…，R整除，當公差不能被大於R的素數K整除時，該等差數列的K個連續項必然有一個項被K整除，如果該等差數列的首項是素數K，連續素數的項數最多有K個項；當首項不是素數K時，連續素數的項數最多為K-1個項。
證明：兩個任意奇素數，都不能被它們的差或其差分解出來的素因子整除。
令，兩個奇素數為A，B，且A<B，B-A為差。
當A能被差或差分解出來的素因子整除時，那么，B必然為合數。即，符合等差合數數列條件；
因為，A是素數，即A>0，B-A<B，其差既不是素數B本身，又因為，A，B都是奇素數，即B-A≠1，也不是自然數1。所以，當B是素數時，不能被其差或差分解出來的素因子整除。
相關內容
1，等差合數數列，在整數遞增等差數列中，當首項能被公差或者公差分解出來的素因子整除時，該等差數列只有首項可以為素數，其餘項皆為合數。這種等差數列除了首項的素數外，其餘項為合數等差數列。
2，能夠產生素數的等差數列，在整數遞增等差數列中，當首項不能被公差或者公差分解出來的素因子整除時，這樣的等差數列能夠產生素數，並且永遠能夠產生素數。能夠產生素數，並不是說每一項都是素數。
3，等差素數數列，指連續項都是素數的項數。該數列存在的條件有兩個：一是能夠產生素數的等差數列；二是等差數列的公差能夠被連續小素數整除。即能夠被小素數2，3，5，7，…，R整除，當公差不能被大於R的素數K整除時，該等差數列的K個連續項必然有一個項被K整除，如果該等差數列的首項是素數K，連續素數的項數最多有K個項；當首項不是素數K時，連續素數的項數最多為K-1個項。
證明：兩個任意奇素數，都不能被它們的差或其差分解出來的素因子整除。
令，兩個奇素數為A，B，且A<B，B-A為差。
當A能被差或差分解出來的素因子整除時，那么，B必然為合數。即，符合等差合數數列條件；
因為，A是素數，即A>0，B-A<B，其差既不是素數B本身，又因為，A，B都是奇素數，即B-A≠1，也不是自然數1。所以，當B是素數時，不能被其差或差分解出來的素因子整除。
混用
前面說過：孿生素數猜想與哥德巴赫猜想是同一個猜想的兩個部分。那么，我們在這裡，再作一個大膽的構想：看它們之間能否混用。
令，偶數為M，除以小素數為2，3，5，7，…，R的餘數，既不為0，也不與M除以這些小素數餘數一一對應相同的數為A。
偶數的素數對，是指M-A=素數；相差偶數的素數組，是指A-M=素數。
當偶數為128時，除以小素數2，3，5，7，11，13，17，19，…，的餘數既不為0，也不與128除以這些小素數的餘數一一對應相同的數有：1，31，61，67，97，127，151，157，181，199，211，229，241，277，307。
1，M-A，128分別減去這些數為：127，97，67，61，31，1，-23，-29，-53，-71，-83，-101，-113，-149，-179。
2，A-M，A分別減去128為：-127，-97，-67，-61，-31，-1，23，29，53，71，83，101，113，149，179。
即，除了1和-1外，要么是素數，要么是負素數。
如果說，我們引進負素數，那么，所有偶數都存在奇素數對，包括自然數2和4。具體素數對的數量，還是由最大的小素數的大小，決定不低於多少對。
這就是全偶猜想的通用性。
前面說過：孿生素數猜想與哥德巴赫猜想是同一個猜想的兩個部分。那么，我們在這裡，再作一個大膽的構想：看它們之間能否混用。
令，偶數為M，除以小素數為2，3，5，7，…，R的餘數，既不為0，也不與M除以這些小素數餘數一一對應相同的數為A。
偶數的素數對，是指M-A=素數；相差偶數的素數組，是指A-M=素數。
當偶數為128時，除以小素數2，3，5，7，11，13，17，19，…，的餘數既不為0，也不與128除以這些小素數的餘數一一對應相同的數有：1，31，61，67，97，127，151，157，181，199，211，229，241，277，307。
1，M-A，128分別減去這些數為：127，97，67，61，31，1，-23，-29，-53，-71，-83，-101，-113，-149，-179。
2，A-M，A分別減去128為：-127，-97，-67，-61，-31，-1，23，29，53，71，83，101，113，149，179。
即，除了1和-1外，要么是素數，要么是負素數。
如果說，我們引進負素數，那么，所有偶數都存在奇素數對，包括自然數2和4。具體素數對的數量，還是由最大的小素數的大小，決定不低於多少對。
這就是全偶猜想的通用性。
探索者：四川省三台縣工商局：王志成。
