內集合論

簡介

內集合論是闡述非標準分析的一種公理方法。

內集合論的公理系統從通常的ZFC公理系統出發，再加上一個新的一元謂詞“標準的”及轉換原理、理想化原理、標準化原理這三條公理構成。謂詞“標準的”指稱標準數學中，即通常數學中的具體對象。

內集合論中的一個公式稱為內的，如果它不包含新的謂詞“標準的”，即它是ZFC中的一個公式，否則，這個公式就稱為外的。例如，“x 是標準的” 是一個最簡單的外公式，設

是一個內公式，

是自由變元，而且再無其他自由變元，則公式

稱為轉換原理，其中量詞

表示“

（x 是標準的）→”。

設 B(x,y) 是一個內公式，x,y 是自由變元，可能還有其他自由變元，則公式

稱為理想化原理，其中量詞

表示 “

(x是有限的）→"。

設C(z)是一個公式，它是內的或者是外單，z是自由變元，可能還有其他自由變元，則公式

稱為標準化原理，其中量詞

表示∃ y（y 是標準的）⋀”。

轉換原理(T)表示通常數學中的命題在內集合論中也成立。反之顯然也是對的。這正是非標準分析中的轉換原理。

理想化原理(I)表示任何一個共點的內二元關係在內集合論中可全滿足，這正是非標準分析中的飽和性。

標準化原理(S)是ZFC中的分離公理的補充，它表示對於任何一個標準集合r，存在一個標準子集y，y的標準元正好是x中滿足C的標準元。

內集合論的公理，即ZFC的公理加上(T),(S),(I)，正好是非準分析的飽和模型中內集的基本性質。這也正是內集合論名稱的由來。

若令B(x,y)表示實數集合上的二元關係：x<y，並且x,y>0，則(I)的左端顯然為真，即對任意標準的有限實數集z，存在一個小於z中每個實數y的實數x。由(I)其右端也為真，即存在一個大於零的實數r，對所有大於零的標準實數y，有x<y。換句話說，x是一個大於零的無限小。

類似地，若令B(x,y)表示實數集合上的關係：x>y，並且x,y>0，則由(I)可推出存在正無限大。有了非零無限小及無限大，在內集合論中就可展開非標準分析了。

這個方法已被法國非標準分析學派採用，並且在常微分方程的奇異攝動方面取得了很好的成果。