光滑映射在一點穩定性

光滑映射在一點穩定性(stability of asmooth mapping at a point)是指光滑映射在一點局部經小擾動後本質不變的特性。光滑映射是一類連續映射，是微分拓撲學的基本概念和主要研究對象。它是微分流形之間在每點附近的局部表示。

基本介紹

• 中文名：光滑映射在一點穩定性
• 外文名：stability of asmooth mapping at a point
• 領域：數學
• 學科：微分拓撲學
• 對象：光滑映射
• 意義：微分流形的局部表示

概念

光滑映射在一點穩定性(stability of asmooth mapping at a point)是指光滑映射在一點局部經小擾動後本質不變的特性。設M^m，Nⁿ是兩個微分流形，p∈M^m，q=f(p)，f：U→Nⁿ是光滑映射，U是點p的鄰域。若對於任何足夠接近於映射f的映射f~：U→Nⁿ，都存在點p和點q的鄰域V和W，p∈V U M^m，q∈W Nⁿ和微分同胚嵌入h：V→U，k：W→Nⁿ，使得有如下（圖1）交換：

圖1

光滑映射

一類連續映射，是微分拓撲學的基本概念和主要研究對象。它是微分流形之間在每點附近的局部表示。設M，N分別是m維，n維微分流形，f：M→N是連續映射，對於p∈M，(U，φ)，(V，ψ)分別是M含p的卡及N含f(p)的卡，f(U)V，則映射：

稱為f關於卡(U，φ)，(V，ψ)的局部表示，它是R^m中的開集φ(U)到Rⁿ中的開集ψ(V)的連續映射。連續映射f：M→N，若對於p∈M，f(p)∈N，存在卡(U，φ)，卡(V，ψ)與f(U) V，使得f的局部表示是C可微的(見圖2)，則稱f在p∈M處是C可微的。連續映射f：M→N，若f在每點p∈M處都是C可微的，則稱f為C^r可微映射。此時，簡稱f為C^∞映射。M到N的C^∞映射稱為M到N的光滑映射。

圖2

微分流形

設M是仿緊豪斯道夫 (Hau-sdorff)空間，且是拓撲流形，稱A= {(U_α，Ф_α)|α∈P}是它的地圖，如果{U_α|α∈P}是M的開覆蓋，Ф_α是從U_α到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(U_α，Φ_α)稱為坐標卡。如果兩個坐標卡 (U_α，Ф_α)，(Uβ，Φ_β) 滿足U_α∩U_β≠Φ，則稱Φ_β·Ф_α：Φ_α(U_α∩U_β) →Φ_β(U_α∩U_β) 和Φ_α·Φ_β： Φβ(U_α∩U_β) →Ф_α(U_α∩U_β) 為U_α∩U_β上的坐標變換。如果A的所有坐標變換都是C可微的，則稱A為一個C地圖，其中1≤r≤∞。r也可等於ω，此時A稱為解析地圖。拓撲流形M的坐標卡 (U，Φ) 稱為與A是Cr相容的，如果任意(U_α，Φ_α) ∈A，坐標變換Φ·Φ_αΦ_α·Φ均C可微。拓撲流形M的C地圖A稱為最大的，如果它包含M的所有與之C相容的坐標卡。M上的最大C地圖A稱為M的C微分結構。(M，A)稱為C微分流形，或簡稱為C流形。當r=∞時，C微分結構也稱為光滑結構，C流形也稱為光滑流形。r=ω時，C結構也稱為解析結構，C流形稱為解析流形。C流形(M，A)有時也簡記為M。

從直觀上看，拓撲流形是局部歐氏空間，局部之間用同胚映射(坐標變換)貼上在一起。n維C流形，不僅局部同胚於n維歐氏空間，而且局部之間是用C光滑、且其逆也C光滑的坐標變換貼上在一起。

兩個C流形M和N，f：M→N是連續映射，且任一點P∈M，有包含P點的M中的坐標卡(U，Φ)以及包含f(P)的N中的坐標卡(V，)，使得f(U)⊂V，同時，映射°f°Φ_-1：Φ(U)→(V)是C光滑的(1≤r≤∞或r=ω)，則稱f是C映射。C映射也稱為光滑映射，C映射也稱為解析映射。

C流形M和N之間的同胚f：M→N，如果f和f均是C映射，則稱f是C微分同胚。

圖3

微分同胚

微分流形之間的一類同胚映射。它與它的逆映射都是可微的。設M，N均為微分流形，對於映射f：M→N，若f是同胚映射，並且f，f都是C可微映射，則稱f為M到N上的C微分同胚。C微分同胚f：M→N簡稱M到N上的微分同胚。對於微分流形M，N，若存在(C)微分同胚f：M→N，則稱M與N是(C)微分同胚的微分流形，記為M N。“ ”是微分拓撲學中的基本等價關係。微分拓撲的基本任務是研究微分流形在微分同胚下保持不變的性質，以及尋求在怎樣的條件下兩個微分流形是微分同胚的。米爾諾(Milnor，J.W.)於1956年證明，在S⁷上至少存在兩個不微分同胚的微分構造。後來證實，S⁷上恰好有15個這樣的不同的微分構造。

微分拓撲學

研究微分流形和可微映射的一個數學分支。1936年由美國數學家惠特尼開創。惠特尼證明了微分流形的嵌入定理，還研究了n維流形的可微結構。另一位美國數學家S.S.凱恩斯同期證明了三角形剖分定理、微分流形的可單形剖分性等結果。1940年英國數學家J.H.C.懷特海得到組合流形的正則鄰域定理，他還第一次給出了整體微分流形概念的嚴格而精確的定義。20世紀50年代初，法國數學家托姆創立配邊理論，完成多維流形的粗分類工作。1958年美國數學家米爾諾出版《微分拓撲學》，其中有許多該學科的重要成果。20世紀60年代初，美國數學家斯梅爾證明了微分拓撲學中最重要的定理之一——廣義龐加萊猜想，即維數n≥5時龐加萊猜想成立，為此榮獲1965年的維布倫獎和1966年的菲爾茲獎。同時期的凱瓦雷、塞曼、馬祖爾等人亦在微分流形研究中得到許多結果。微分拓撲學還集中研究微分映射的性質、組合結構與微分結構之間的關係、組合流形的光滑化問題、嵌入問題等，它在20世紀60年代取得較大發展。近一二十年來，微分拓撲學仍在微分浸入、微分嵌入、配邊等理論方面不斷發展。例如美國數學家M.弗里德曼利用拓撲流形的剜補術於1981年證明了4維的龐加萊猜想，並因此引起關於4維流形拓撲的一系列研究。