基本介紹
- 中文名：傑波夫猜想
- 提出時間：1855年
- 人物：傑波夫
- 證明時間：1905年
意義,難點,證明思路,
意義
除傑波夫猜想外，還有一個孿生素數猜想，即存在無窮多個p、p+2，p和p+2均為素數。這兩個猜想，尤其是傑波夫猜想在國內遠不如哥德巴赫猜想有名，但如果說對數學的意義，它們比哥猜要大得多，因為它們關係到素數分布規律之謎。證明和推廣這兩個猜想，為數論和數學研究打開了一片廣闊的天地。
難點
一般人們認為運用素數定理即可證明，但重要的一點“誤差”沒有考慮到。運用素數定理時一定要注意“x充分大”是指0~x的區間充分大，否則不成立。例如設x是有限數，n充分大，則n~n+x範圍內不一定就有素數，因為素數的間隔可以是任意大（這是基本常識，證明可以很容易找到，此略），素數定理也不能直接用於證明傑波夫猜想，因為當x-->∞時，(x+1)^2/x^2-->1，素數定理±5%的誤差遠遠超出了能確認素數存在的要求。
證明思路
假設N為充分大正整數，≤N的素數有q個，最大為p。現在按y=(N+1)^2/x、y=N(N+1)/x、y=N^2/x、y=N(N-1)/x、y=(N-1)^2/x...將y≥x的區域逐一細分。由於N充分大，N(N+1)、N^2、N(N-1)當然也充分大。將N(N+1)視為N^2系列曲線的上界，N(N-1)+1視為N^2系列曲線的下界（N(N-1)視為(N-1)^2的上界），則由N(N-1)+1到N(N+1)共有2N條本徵曲線。
先考察N^2+1~N^2+N的N條線。首先，這N條曲線的每條不可能含有兩個以上大於P的素數因子。因為>P的素數必>N，至少為N+1。那么兩個以上的乘積就是≥(N+1)^2>N(N+1)，不在鎖定的範圍內。
然後，這N條線是完全連續的，這就意味著它們通不通過某個素數坐標線上的整點，是不相干的獨立事件，情況和1~N相同。既然如此，可以直接將素數基本公式運用於該區域，它含有的素數曲線數≈N*∏(1-1/p)=N*(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p)；同理，N^2-N+1~N^2的N條曲線中含有的素數曲線數也為N*∏(1-1/p)。
結論1): 任何充分大的N，N^2系列的素數個數≈2N*∏(1-1/p)...②。
顯然，無論N+1是否素數，N^2+N+1~(N+1)^2上的素數≈(N+1)*∏(1-1/p)，於是得結論2):
任何充分大的N，N^2~(N+1)^2之間的素數個數≈(2N+1)*∏(1-1/p)...③。
下面證明，N充分大時，N*∏(1-1/p)必>1。先確定N*∏(1-1/p)的誤差。這裡要注意的是，對應某個A~B連續正整數序列來說，邊界情況和1~B不同，因為A~B的邊界線有A、B上下兩條，而1~B只有一條。如果它的邊界N^2+1和N^2+N都能被p整除，此時曲線通過的數目最少，為N-N/p-1；如果它們恰好在上下p-1的位置，通過的線數最多，為N-(N-2(p-1))/p-1。將上下限相除，S=(Np-N+2(p-1)-p)/(Np-N-p)=1+2(p-1)/((N-1)(p-1)-1)=1+1/((N-1)/2-1/2(p-1))。由於當N充分大時，由於1/2(p-1)≤0.5，可以忽略，得S≈1+1/((N-1)/2)，是每個乘積項(1-1/p)即通過比例可能出現的誤差。N充分大，當然滿足N-1>以至>>1~N的素數的個數q的2倍，因此S^q<(1+1/((N-1)/2)^((N-1)/2)=e。同樣得到(1/e)*n*∏(1-1/p)<π(N^+1, N^2+N)<e*n*∏(1-1/p)。那么要證明N^+1～N^2+N至少有一個素數，就是要n*∏(1-1/p)>e。這裡的麻煩在於，雖然n本身可以不斷增大，但對應的小於1的乘積項卻在增多，怎么證明它比能>e？這裡就有不小的技巧了。
