偽弗羅貝尼烏斯環(pseudo-Frobenius ring )簡稱左PF環。比完全對偶環(即廣義QF環)更一般的環。完全對偶環亦稱廣義QF環。具有近似於(有限維)向量空間那樣的良好的對偶性質的特殊環類。它介於PF環與QF環之間。
基本介紹
- 中文名：偽弗羅貝尼烏斯環
- 外文名：pseudo-Frobenius ring
- 領域：數學
- 學科：環論
- 簡稱：左PF環
- 推廣：完全對偶環
概念,完全對偶環,內射模,人物簡介,
概念
偽弗羅貝尼烏斯環(pseudo-Frobenius ring )簡稱左PF環。比完全對偶環(即廣義QF環)更一般的環。環R稱為偽弗羅貝尼烏斯環，若R滿足以下等價條件之一：
1.RR是內射模且基座Soc(RR)是有限生成本質的。
2.R是左半完全的、左自內射的且Soc(RR)是本質的。
3.RR是左餘生成子且單左R模同構類是有限的。
4.RR是左餘生成子且任意單左R模同構於R的某個左理想。
5.任意忠實左R模是生成子。
6.任意餘生成子是生成子。
PF環的概念是東屋五郎(Azumaya，G.)於1959年在討論內射模的對偶性質時提出的，他提出了左PF環是否是右PF環的問題。狄斯勤格(Dischinger，F.)和繆勒(Mu¨ller，W.)於1986年證明了答案是否定的。
完全對偶環
完全對偶環亦稱廣義QF環。具有近似於(有限維)向量空間那樣的良好的對偶性質的特殊環類。它介於PF環與QF環之間。若環R上任意有限生成的(左或右)R模是反射的，即對於任意有限生成R模M，
M**∽M，M*=HomR(M，R)，
則稱R為完全對偶環。R是完全對偶環若且唯若RR和RR是餘生成子；又若且唯若RR是餘生成子且RR是內射的；又若且唯若RR是餘生成子且RR是內射的；又若且唯若RR和RR是內射的且任意單R模同構於R的一個理想。完全對偶環R是半完全的且RR和RR是有限餘生成的(即Soc(RR)和Soc(RR)是有限生成本質子模)。最早對這一類環進行研究的有迪厄多內(Dieudonné，J.，1958年)、森田紀一(Morita，K.，1958年)和大萬川弘辛(Tachikawa，H.，1958年)等人。
內射模
內射模是投射模的對偶概念。設Q是左A模，若函子HomA(-，Q)正合，則稱模Q為內射模；這等價於：對每個單同態f：K→M，及每個同態r：K→Q，一定有同態r-：M→Q，使得r-°f=r成立。對任意模M，一定存在內射模E，使得M是E的子模。若E是左A內射模，且E是左A模M的子模，則E是M的直和因子。若A是環，則存在充分多的左A內射模，例如，若Q是可除阿貝爾群，則HomZ(A，Q)是A內射模。貝爾準則是一個很有用的判別定理：對A的每個左理想I和每個A同態h：I→Q，若h都可開拓成h-：A→Q，即h-|I=h，則Q是內射模；反之亦然。內射模這一概念是由貝爾(Baer，R.)於1940年提出的；詹森(Johnson，R.E.)和黃德華於1961年將投射模、內射模這些概念推廣到擬投射模和擬內射模；山度米爾斯基(Sandomierski)於1964年推廣到相對投射模和相對內射模。
人物簡介
弗羅貝尼烏斯是德國數學家。生於柏林，卒於柏林夏洛滕堡(Ch arlottenburg)。1867年在哥廷根學習數學。1870年獲博士學位，1874年任柏林大學教授。1893年當選為柏林普魯士科學院院士。他的研究涉及群論的三個方面：代數方程的解，包括伽羅瓦理論的置換群;②幾何，與有窮和無窮變換群及李群相聯繫;③數論，用到二次型的複合與加法群。代表作有《關於可換元素群》(Ueber Gru ppen von vertauschbaren Elementen，1879)、《有限群》(Uber endliche Gruppen，1895)和《群特徵標》(U-ber die Gruppencharaktere，1896)等。論述的核心是群的特徵理論，為此引入“秩”的概念。還研究了特徵多項式，不變因子和初等因子的性質。這種理論有著廣泛的適用性，解決了一大批長期以來懸而未決的問題。另外，他在超複數系，微分方程的級數解、解析函式的冪級數和發散級數等方面也有建樹。福賽思(Forsyth，Andrew Russell，1858.6.18—1942.6.2) 英國數學家。生於蘇格蘭格拉斯哥(Glasgow)，卒於倫敦。1877年就學於劍橋三 一學院。是凱萊的學生。1881年畢業時以數學優異成績留校執教，次年主持利物浦大學學院數學講座。1884年回劍橋任教。兩年後當選為皇家學會會員。他的名作《函式論》(Theory of Functions，1893)被認為是自牛頓《原理》以來對英國數學影響較大的專著之一，為數學現代化起了引導作用。另外著有《變分學》(Calculusof Variations，1927)、《理想空間的內蘊幾何學》(Intrinsic Geometryof Ideal Space，1935)等書。
