佩蒂斯積分

簡介

佩蒂斯積分亦稱弱積分，是一種常用的向量值函式的積分，此積分是佩蒂斯(Pettis,P. B.J. )於1938年建立的。

設(Ω,𝓕,μ) 為σ有限測度空間，x(t) 是定義在Ω上而取值於巴拿赫空間X的弱可測向量值函式，如果對任意 A

𝓕，都存在

，使得對於一切

，積分

存在，且

則說x(t) 在Ω 上佩蒂斯可積，此時記為

並稱 X_A 為x(t) 在 A 上的佩蒂斯積分。

當x(t)在Ω上佩蒂斯可積時，在每個A

𝓕上，佩蒂斯積分

是惟一確定的。

除去富比尼定理外，勒貝格積分的其他性質對於佩蒂斯積分也成立。例如，佩蒂斯積分作為向量值集函式具有絕對連續性和可列可加性，對於被積函式具有線性性質。

如果向量值函式x(t)是博赫納可積的，則它也是佩蒂斯可積的。並且，該兩積分值是相同的，但反之不然。

又如，佩蒂斯可積的函式必是蓋爾范德可積的，當X是自反的巴拿赫空間時，這兩種積分彼此相同。