位移增量

位移增量的形式

由於載荷作用或者溫度變化等外界因素等影響，物體內各點在空間的位置將發生變化，就是產生位移。這個移動過程，彈性體將可能同時發生兩種位移變化。

第一種位移是位置的改變，但是物體內部各個點仍然保持初始狀態的相對位置不變，這種位移是物體在空間做剛體運動引起的，因此稱為剛體位移。

第二種位移是彈性體形狀的變化，位移發生時不僅改變物體的絕對位置，而且改變了物體內部各個點的相對位置，這是物體變形引起的位移，稱為變形位移。

應變分量通過位移的偏導數描述了一點的變形，對微分平行六面體單元棱邊的伸長以及棱邊之間夾角的改變做出定義。但是這還不能完全描述彈性體的變形，原因是沒有考慮微分單元體的剛體轉動。

通過分析彈性體內無限鄰近兩點的位置變化，則可得出剛體的轉動位移與純變形位移之間的關係。剛體轉動通過轉動分量描述。

剛性轉動位移的物理意義：如果彈性體內某點沒有變形，則無限鄰近它的任意一點的位移由兩部分組成，平動位移和轉動位移。如果發生變形，位移中還包括純變形位移。

應變可以描述一點的變形，即對微分平行六面體單元棱邊的伸長以及棱邊之間夾角的改變做出定義。但是這還不足以完全描述彈性體的變形，原因是應變分析僅僅討論了棱邊伸長和夾角變化，而沒有考慮微分單元體位置的改變，即單元體的剛體轉動。

剛性轉動位移的物理意義為，如果彈性體中某點及鄰近區域沒有變形，則無限鄰近這一點的位移，根據剛體動力學可知，是由兩部分組成。分別是隨這點的平動位移和繞這點的轉動位移。對於彈性體中某一點，一般還要發生變形，因此位移中還包括純變形位移。

變形協調方程的數學意義是：要使以三個位移分量為未知函式的六個幾何方程不矛盾，則應變分量必須滿足的必要條件。

應變協調方程的物理意義可以從彈性體的變形連續性質作出解釋。如果變形不滿足一定的關係，變形後的物體將出現縫隙或嵌入現象，不能重新組合成連續體。

為使變形後的微分單元體連續，應變分量必須滿足一定的關係，這一關係就是應變協調方程，又稱聖維南（Saint Venant）方程。

假如彈性體是單連通域的,應變協調方程不僅是變形連續的必要條件，而且也是充分條件。

利用位移函式的微分沿任意路徑重新積分可以確定的位移必然是單值位移的條件，可以證明應變協調方程。

對於多連通域問題，應變分量滿足變形協調方程只是位移連續的必要條件，只有加上位移連續補充條件作為充分條件。