《交錯符號矩陣猜想及其相關組合問題研究》是依託重慶大學，由傅士碩擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：交錯符號矩陣猜想及其相關組合問題研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：傅士碩
- 依託單位：重慶大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目以交錯符號矩陣（ASM）和遞降平面整數分拆（DPP）為研究對象，以它們之間等量的計數關係（含參與不含參的）為基礎，用組合的方法來系統地研究二者之間內在的聯繫，以建立起一一對應的雙射或是對合的映射為終極目標。在研究過程中首先對包括原猜想在內的總計3個大類15個猜想進行認真梳理，進一步探索ASM與其他組合對象包括統計力學裡面的六頂點模型Square Ice、完全對稱的自互補平面分拆（TSSCPP）之間的聯繫與區別，為深入分析表面上數量關係的相等所蘊含的本質關聯提供思路，最後溯源ASM的產生，理解並進一步挖掘它所呈現出來的Laurent Phenomenon和Cyclic Sieving Phenomenon這兩大特質。最終利用我們建立起的雙射，在原有的基礎上探尋新的等式或是更廣義的結論。
結題摘要
本項目的研究背景源於對交錯符號矩陣（ASM）猜想及其相關問題想從組合的角度進一步深入了解的想法，但隨著項目的逐步進行以及對原問題的了解逐步深入，我們對項目的研究內容進行了反思，合理修正為以下兩項： 1. 對分拆恆等式給出組合證明，為分拆同餘式找到相應的細分統計量從而給出組合解釋。 2. 對排列或是集合分拆等組合對象上的統計量同分布問題給出雙射或是對合的證明。 取得的主要研究成果按發表論文來看，項目期間總計發表論文9篇，其中SCI收錄的期刊有7篇，分別發表在Ramanujan Journal、Electronic Journal of Combinatorics、International Journal of Number Theory、Journal of Number Theory、Advances in Applied Mathematics、Discrete Mathematics等期刊。 這其中屬於第一項研究內容的有7篇，主要結果包含對固定最大鉤長的分拆進行計數並加細、為三種經典Theta函式所對應的特定多重分拆所滿足的同餘式探尋統一的類rank統計量並成功給出組合解釋、引入一類新的分拆（k-互異分拆）從而將兩個著名分拆恆等式框入同一個分拆模型裡面並對一般的乘積公式給出組合證明等等。屬於第二項研究內容的有兩篇，一篇是對非交錯的集合分拆上的統計量聯契約分布問題給出組合證明從而加細已有結果，另一篇則是考慮了兩類新的單峰型“降位多項式”，對第一類用組合方法證明其具有更強的Gamma非負性，第二類則是證明了更強的螺旋形結構。該文一經發表就受到了廣泛關注，被最新的關於Gamma非負性的綜述性文章引用。 總的來說，雖然本項目的最終研究內容與一開始所構想的有所出入，但還是秉持了以組合證明、雙射證明為主的研究方法。所取得的研究成果也可以說是超過預期。
