亞冪等根

亞冪等根(subidempotent radical)是一個特殊的根性質。指滿足下述條件的根性質R：R是遺傳的；每個R根環都是冪等環。在環結構定理中，通常捨棄環的冪零性而適當保留其冪等性。

基本介紹

• 中文名：亞冪等根
• 外文名：subidempotent radical
• 領域：數學
• 學科：環論
• 性質：一種特殊的根性質
• 意義：公理化根性質中的重要類型

概念

亞冪等根(subidempotent radical)是一個特殊的根性質。指滿足下述條件的根性質R：R是遺傳的；每個R根環都是冪等環。在環結構定理中，通常捨棄環的冪零性而適當保留其冪等性。亞冪等根則是與傳統根完全不同的另一類根性質，它的出現不再是為了研究環的結構，而是根理論本身的需要，是公理化根性質中一種重要的類型。

環

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

環論

一個環是一個集合R，其中有兩個合成運算，叫作加法和乘法，對有序對a，b，a，b∈R，其結果分別用a+b和ab表示，這兩個合成法則滿足：(1)a+b及ab屬於R(閉合)；(2)a + b=b + a(交換律)；(3) (a+b) + c=a+ (b + c)(結合律)；(4)在R中有一個元0叫零元，對R中任意a，適合a + 0 = 0 +a；(5)對R中任意元a，在R中有一個a的負元—a，適合a+ (—a)=0；(6)(ab)c= a(bc)；(7)a(b + c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca(分配律)，滿足以上條件的代數系即叫環，環論研究的就是具有這些性質的代數系。環論概括了數學各分支中很多基本的特例，如它包括整數環、有理數環、實數環、複數環和各種不同的函式和矩陣環等。環是現代代數中重要概念，其理論和方法在數學許多分支中都有套用。

冪等

一個代數系統中，滿足方程x=x的元素x，稱為冪等元素。當A為集合，“·”為“並”，由於A≡A·A=A，因此，A為冪等元素。對於矩陣的乘法運算，單位矩陣及矩陣等，都是冪等元素。