平方根(數學名詞)

平方根，又叫二次方根，表示為〔±√￣〕，其中屬於非負數的平方根稱之為算術平方根（arithmetic square root）。一個正數有兩個實平方根，它們互為相反數，負數沒有平方根

基本介紹

• 中文名：平方根
• 外文名：Square root
• 所屬學科：數學
• 別名：二次方根
• 分類：數學代數類

公式

如果一個非負數x的平方等於a，即，，那么這個非負數x叫做a的算術平方根。a的算術平方根記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數（radicand）。求一個非負數a的平方根的運算叫做開平方。

結論：被開方數越大，對應的算術平方根也越大（對所有正數都成立）。

一個正數如果有平方根，那么必定有兩個，它們互為相反數。顯然，如果知道了這兩個平方根的一個，那么就可以及時的根據相反數的概念得到它的另一個平方根。

負數在實數系內不能開平方。只有在複數系內，負數才可以開平方。負數的平方根為一對共軛純虛數。例如：-1的平方根為±i，-9的平方根為±3i，其中i為虛數單位。規定：，或。一般地，“√￣”僅用來表示算術平方根，即非負數的非負平方根。

規定：0的算術平方根為0。

運算

描述

像加減乘除一樣，求平方根也有自己的豎式算法。以計算 為例。過程如右下圖：最後求出 約等於1.732（保留小數點後三位）。

過程1

因為每次補數需要補兩位，所以被開方數不只一個數位時，要保證補數不能夾著小數點。例如三位數，必須單獨用百位進行運算，補數時補上十位和個位的數。

過程2

每一個過渡數都是由上一個過渡數變化而後，上一個過渡數的個位數乘以2，如果需要進位，則往前面進1，然後個位升十位。以此類推，而個位上補上新的運算數字。簡單地講，過渡數27，是第一次商的1乘以20，把個位上的0用第二次商的7來換，過渡數343是前兩次商的17乘以20=340，其中個位0用第三次商的3來換，第三個過渡數3462是前三次商173乘以20=3460，把個位0用第四次的商2來換，依次類推。

過程3

誤差值的作用。如果要求精確到更高的小數數位，可以按規則，對誤差值繼續進行運算。

例子

計算√10
3. 1 6 2 2 7--------
-----------------------------
√10’00’00’00’00’--------
3| 9 3 第1位3
-------
6 1|100 2*3*10+1 =61 第2位1
| 61
-------
626 | 3900 2*31*10+6 =626 第3位6
| 3756
--------
6322|14400 2*316*10+2 =6322 第4位2
|12644
---------
63242|175600
|126484
-----------
632447|4911600
|4427129
---------
××××××00（如此循環下去）
所以，√10=3.16227…

再如√7

= 2. 6 4 5 …
---------------------
2 | 7
4
--------------
4 6 |300
276
--------------------
52 4 | 2400
2096
-----------------------------
528 5 | 30400
26425
-------------------------------
5290？| 3 9 75 00

牛頓疊代法

上述筆算開方方法是我們大多數人上學時課本附錄給出的方法，實際中運算中太麻煩了。我們可以採取下面辦法：

比如136161這個數字，首先我們找到一個和136161的平方根比較接近的數，任選一個，比方說300到400間的任何一個數，這裡選350，作為代表。
我們先計算0.5(350+136161/350)，結果為369.5。
然後我們再計算0.5(369.5+136161/369.5)得到369.0003，我們發現369.5和369.0003相差無幾，並且369²末尾數字為1。我們有理由斷定369²=136161。
一般來說，能夠開方開的盡的，用上述方法算一兩次基本結果就出來了。再舉個例子：計算 。首先我們發現600²<469225<700²，我們可以挑選650作為第一次計算的數。即算0.5(650+469225/650)得到685.9。而685附近只有685²末尾數字是5，因此685²=469225。從而 。　
對於那些開方開不盡的數，用這種方法算兩三次精度就很可觀了，一般達到小數點後好幾位。
實際中這種算法也是計算機用於開方的算法。

用Ruby求平方根

（註：sqrt = square root平方根）

module MyMath    def sqrt(num,rx=1,e=1e-10) #參數1，需要求平方根的目標；參數2，疊代區間；參數3，精度        num*=1.0 #目標初始化       (num-rx*rx).abs < e ? rx : sqrt(num,(num/rx+rx)/2,e) #計算平方根    endendinclude MyMathputs sqrt(2) #求2的平方根puts sqrt(2,5,0.01) #求2的平方根+疊代區間與精度。

C語言版求平方根

double Sqrt(double a,double p)//a是被開平方根數，p是所求精度{    double x=1.0;double cheak;    do   {        x = (a / x + x) / 2.0;        cheak = x * x - a;    } while((cheak >= 0 ? cheak : -cheak) > p);    return x;}int main(){    printf("%.4f\n",Sqrt(2.0,0.0001));    printf("%.4f\n",Sqrt(0.09,0.0001));    return 0;}

輸出結果：

1.4142

0.3000

知識教案

算術平方根定義：

如果一個非負數x的平方等於a，那么這個非負數x叫做a的算術平方根，記作 。其中，a叫做被開方數。例如：因為2和-2的平方都是4，且只有2是正數，所以2就是4的算術平方根。

由於正數的平方根互為相反數，因此正數的平方根可分別記作 和 ，可合寫為 。例如5的平方根可以分別記作 和 ，可合寫為 。

0的平方根僅有一個，就是0本身。而0本身也是非負數，因此0也是0的算術平方根。可記作 。

注意：算術平方根只有一個！

教學重點與難點分析

1.本節重點是平方根和算術平方根的概念。平方根是開方運算的基礎，是引入無理數的準備知識。平方根概念的正確理解有助於符號表示的理解，是正確求平方根運算的前提，並且直接影響到二次根式的學習。算術根的教學不但是本章教學的重點，也是今後數學學習的重點。在後面學習的根式運算中，歸根結底是算術根的運算，非算術根也要轉化為算術根。

2.本節難點是平方根與算術平方根的區別與聯繫。首先這兩個概念容易混淆，而且各自的符號表示意義學生不是很容易區分，教學中要抓住算術平方根式平方根中正的那個，講清各自符號的意義，區分兩種表示的不同。

3.本節主要內容是平方根和算術平方根，注意數字要簡單，關鍵讓學生理解概念。另外在文字敘述時注意語言的嚴謹規範。

求平方根教學重點難點

1.教學重點是用計算器求一個正數的平方根的程式，無論實際生活，還是其他學科都會經常用到計算器求一個數的平方根，這也是學生的基本技能之一。

2.教學難點準確用計算器求一個正數的平方根，由於開平方運算要用到第二功能鍵，學生容易漏掉此步操作，在教學過程中要著重說明此鍵的作用功能教法建議。

3.在給學生講解如何利用計算器求一個數的平方根時，應掌握方法。