中窮

歐幾里得是古希臘最偉大的數學家，他系統整理了古希臘的幾何知識，寫成《幾何原本》，成為人類歷史上第一部完整的公理化的著。《幾何原本》（希臘文Στοιχεῖα）共13卷，是用希臘文寫成的，後來被翻譯成多種文字。它首版發行於1482年，問世之後，它的手抄本流傳了1800多年。同時被譯為世界各主要語種，至今《幾何原本》已經出版了上千種不同版本，在西方是僅次於《聖經》而流傳最廣的書籍。歐幾里得本人的《原本》手稿早已失傳，現在看到的各種版本都是根據後人的修訂本、注釋本、翻譯本重新整理出來的。

歐幾里得的《幾何原本》1607年傳人中國，由義大利傳教士利瑪竇和中國學者徐光啟合譯，但他們只譯出了前6卷。令人感到奇怪的是歐幾里得這本書在西方大多被翻譯成“Euclid's Elements” 、“Euclid geometry”或者“Geometric Original”，對應的漢語應該是“測地學”或者“形學”，但是徐光啟卻把它譯為了《幾何原本》。“幾何”在中國古代漢語中並不是一個專有名詞，而是一個虛詞，意思是“多少”。三國時曹操《短行歌》中有“對酒當歌，人生幾何”，這裡的“幾何”就是多少的意思，所以“幾何的原本”在古漢語中還可以理解為“多少的原本”。

幾何圖形是由點、線、面和體等元素組成的，其中點是組成幾何圖形的基本元素，幾何圖形的其它元素都是通過點的排列而體現出來的，可以說點是幾何的本原。歐幾里得幾何中把點定義為是“沒有部分的東西”，點只有位置沒有大小。對於幾何中的一個點，它確實存在，但不去測量它的大小和邊界，這就是一種中窮性。受到點中窮性的影響，幾何中的線只有長短而沒有粗細，幾何中的面也只有大小而沒有薄厚，這裡的“沒有”並不是真的沒有，是一種中窮性的沒有。

下面，我們通過幾何中的線段、射線和極線為例來具體說明。在歐幾里得幾何中，線段X被定義為直線上兩個點和它們之間的部分，如線段x的變化區間為[0,N],它上面所有點的排列集合為X{0,1,2,3……N}，其中N為有窮大，代表著一個有限有界的狀態；射線Y被定義為直線上的一點和它一旁的部分，如射線y的變化區間為[0,∞],它上面所有點的排列集合為Y{0,1,2,3……N……∞}，其中∞為無窮大，代表著一個無限無界的狀態；極線P是介於線段和射線之間的一種線，將線段x與射線y圍成一個面積為k（k為實數，k>0）的矩形，x·y=k 。當k恆定不變時，x與y之間形成一種反比例的二元耦合關係，即當x不斷縮短時，y越來越接近射線。x的變化區間為（0，ε]，其中ε為中窮小（ε≠0）是一種有限無界的最小存在。y的變化區間為（0，ρ]，其中ρ為中窮大（ρ≠∞）是一種有限無界的最大存在。極線上面所有點的排列集合為P{0,1,2,3……ρ}，其中ρ為中窮大，代表著一個有限無界的狀態。

下圖1為三種世界的示意圖，線段X為有窮世界——有限有界，射線Y為無窮世界——無限無界，極線為中窮世界——有限無界。極線不同於線段，它無界即ρ>N ; 極線也不同於射線段，它有限即ρ≠∞ 。極線是一個合體，它具有二元耦合結構，極線與射線非常相似，但也只能達到“極是”不能達到“真是”，因為一旦達到“真是”（ρ=∞）極線就會解體，無窮大是極線的一個間斷點。

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