並聯電阻

如圖所示：第一幅圖中兩電阻並列連線在電路中稱為並聯電阻，另外由單純的並聯電阻或用電器（用電器：如，電視機，空調，電腦等）構成的電路稱為並聯電路。對比於第二個電路，電阻（用電器），依次連線起來的為串聯電路。

基本介紹

• 中文名：並聯電阻
• 外文名：shunt resistance

定義

並聯電路：並聯的各支路電壓相等，幹路電流等於各個支路和。

表達式：電阻R1R2R3……Rn並聯,電壓U1=U2=……=Un幹路電流：In=I1+I2+……+In由於P=UI,I=U/R，代入，並聯電阻的功率比P1:P2:P3……：Pn=U1^2/R1:U2^2/R2……Un^2/Rn=1/R1:R2……1/Rn由於是純電阻，發熱比Q1:Q2……：Qn=Pn比=1/R1:R2……1/Rn。

計算方法

計算公式

1.總電流的計算

I_總=I₁+I₂+......+I_n

即總電流等於通過各個電阻的電流之和

2.總電壓的計算

U_總=U₁=U₂=……=U_n

並聯電路各支路兩端的電壓相等，且等於總電壓

3.總電阻值的計算

1/R_總=1/R₁+1/R₂+……+1/R_n

即總電阻的倒數等於各分電阻的倒數之和

特別的，兩電阻並聯總值為： 。

對於n個相等的電阻並聯，公式就簡化為R並=R/n

4.並聯電阻值的估算（並聯阻值比任何一個電阻的值都小）

（1）若並聯的兩電阻值之間超過四倍，則總電阻小於任一併聯電阻之值。

（2）若並聯的兩電阻值之間小於四倍，則總電阻小於 。鑒於根號不便於口算，還可證明當兩電阻值之間小於三倍，則總電阻小於 。

註：結論（1）（2）無論有沒有四倍之間的關係結論總是成立的，只是並聯電阻關係不同，估算的值精度不同。結論（2）可以利用基本不等式證明。舉例：兩電阻2和4，用（1）估算小於2，用（2）估算小於 ，或1.5。

圖解法

1.方法一

若要求R₁與R₂的並聯電阻值，可先作直角坐標系xOy，並作Y=X的直線l，在OX軸上取A點，使OA長度等於R₁的阻值，在OY軸上取B點，使OB長度等於R₂的阻值，連結AB與直線l相交於M點，則M點的坐標（X或Y）值即為R₁與R₂的並聯阻值。

證明： 作MD⊥OX

∵ △AOB∽△ADM

∴ AO/BO=AD/DM

因OD=DM，並設其長度為R的數值

R₁/R₂=(R₁-R)/R

解得： R=(R₁·R₂)/(R₁+R₂)

此即R₁、R₂的並聯電阻的阻值。

套用若需求三個電阻的並聯電阻值，可先求R₁、R₂的並聯電阻，得到D點，再在OY軸上取C點，使OC長度等於R₃的值，連CD與l直線交於N點，則N點的坐標值為R₁、R₂、R₃的並聯總阻的阻值。例如，令R₁=4Ω，R₂=12Ω，R₃=6Ω，求解結果為圖2所示，R₁、R₂的並聯總阻為3Ω，R₁、R₂、R₃的並聯總阻為2Ω。

2.方法二

在平面上任取一點O，用相互交角為120°的三矢量作為坐標軸OX、OY、OZ（每軸均可向負向延伸），若要求R₁、R₂的並聯電阻，只要在OX軸上取OA長等於R₁的值，在OY軸上取OB長等於R₂值，連結AB，交OZ軸（負向）於C點，則OC長度（絕對值）即為所求並聯電阻阻值。

證明

面積S△AOB=S△AOC+S△BOC

即 (1/2)AO×BO×Sin120°

=(1/2)AO×OC×sin60°+(1/2)BO×OC×sin60°AO×BO =AO×OC+BO×OCR₁R₂=R₁R+R₂R

∴ R=R₁R₂/(R₁+R₂)

套用可方便地連續求解多個電阻的並聯值。例如，若要求R₁、R₂、R₃的並聯總阻的阻值，只需先求出R₁、R₂並聯後的阻值R₁₂（即得到C點），再在OA的負向取一點D，快OD長等於R₃的值，連結CD交OY軸於E點，則OE長即為R₁、R₂、R₃的並聯總阻的阻值。如R₁=4Ω，R₂=12Ω，R₃=6Ω，按此法可求出R₁₂=3Ω；R₁、R₂、R₃三電阻並聯電阻值為2Ω。

以上求解方法對於求電容器串聯、彈簧串聯，凸透鏡成象等與電阻並聯有相似計算公式的問題，同樣適用。

數學方法

因為在並聯電路中幹路電流等於各個支路電流之和I_總=I₁+I₂₊I₃+I₄+.........+I_n，幹路電壓等於各用電器電壓

U_總=U₁=U₂=……=U_n

I_總=U/R

1/R=I_總/U

I₁=U/R₁

1/R₁=I₁/U

I_n=U/R_n

1/R_n=I_n/U

所以1/R₁+1/R₂+1/R₃+........1/R_n=I₁+I₂I₃+I₄+.........+I_n/U=I_總/U

所以1/R_總=1/R₁+1/R₂+1/R₃+......+1/R_n

性質特點

串聯電路

歐姆定律：I=U/R

變形求電壓：U=IR

變形求電阻：R=U/I

電壓的關係：U=U₁+U₂

電流的關係：I=I₁=I₂

電阻的關係：R=R₁+R₂

並聯電路

電壓的關係：U=U₁=U₂

電流的關係：I=I₁+I₂

電阻的關係：1/R=1/R₁+1/R₂

電功的計算：W=UIt

電功率的定義式：P=W/t

常用公式：P=UI

焦耳定律：Q_放=I²Rt

對於純電阻電路而言：Q_放=I²Rt =U²t/R=UIt=Pt=UQ=W

照明電路的總功率的計算：P=P₁+P₁+……

故障處理

1、原因

高壓斷路器加裝並聯電阻的目的是限制操作過電壓。並聯電阻一般有金屬絲電阻和線性陶瓷電阻。我國500kV的SF₆斷路器一般都裝有合閘電阻，阻值為400Ω的是線性瓷電阻，由於容量有限，所以容易被燒壞。當實測並阻電阻與出廠或交接試驗測量值不符時，對陶瓷電阻而言，可能存在的原因如下：
（1）電阻片老化，導致電阻值增大。
（2）電阻片被擊穿，導致電阻值降低。
（3）多串電阻並聯時．若阻值顯著增大，則可能是某串電阻斷開所致。

2、處理方法

有人認為在斷路器不開合空載長線路時，並經廠家同意可考慮取消合閘電阻。關於取消合閘電阻問題仍在討論中。