《丘成桐第一特徵值猜想和等參超曲面理論的推廣及套用》是依託北京師範大學，由彥文嬌擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：丘成桐第一特徵值猜想和等參超曲面理論的推廣及套用
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：彥文嬌
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
子流形幾何是微分幾何的重要部分，而等參超曲面理論是子流形幾何中一個生機勃勃的研究領域。2007,2008和2012年發表在國際頂尖雜誌《Ann.of Math.》上的三篇關於球面中等參超曲面的分類的突破性進展的文章，再次引起了幾何界研究等參超曲面的熱情。另一方面，雖然微分幾何中著名的丘成桐第一特徵值猜想的等參情形已經被我們徹底解決，但是離徹底解決還差很大距離，並且由於其深刻的幾何意義，以及它與眾多學科領域間的密切聯繫及重要作用，使得丘成桐第一特徵值猜想的研究受到廣泛關注。本項目將在已有優勢研究基礎上，以丘成桐第一特徵值猜想的證明和等參超曲面理論的推廣及其套用為主要方向繼續進行深入研究。我們計畫研究：丘成桐第一特徵值猜想及相關特徵值問題；球面中等參超曲面的分類問題及相關理論套用；一般黎曼流形中的等參超曲面理論及套用。
結題摘要
本項目研究了子流形幾何中的丘成桐第一特徵值猜想及相關特徵值問題和等參超曲面理論的推廣及套用。項目成果目前已被《Advances in Math.》,《J. Funct. Anal.》，《Sci. China Math.》,《Math. Z.》著名數學雜誌接受發表了5篇SCI論文和1篇特邀會議論文。另有一篇已標註的預印本。 丘成桐第一特徵值猜想是1982年由國際一流數學家丘成桐提出的，他斷言單位球面中的閉的極小嵌入超曲面的第一特徵值一定等於其維數。該猜想的等參情形已被唐梓洲和彥文嬌（《J.Diff.Geom.》）證明，並且提出了推廣的丘成桐第一特徵值猜想。本項目的一個重要成果[1]是將其超曲面的結果推廣至g=6的情形，並通過計算遺留的焦流形的第一特徵值，進一步驗證推廣的丘成桐猜想中的維數條件的精確性。 我們知道 g=4 的等參超曲面的焦流形都是單位球面的極小Willmore 子流形，在所有情形中只有兩個是Einstein 流形（Ricci 曲率為常數）。一個自然而然的問題就是，這些焦流形都是Ricci 平行的嗎？本項目的重要成果[2]，[3]證明了g=4，6 的等參超曲面的焦流形都是 A-流形，但大多都不是 Ricci平行的。並利用g=4,重數為(3,4k) 等參超曲面的焦流形，給出Besse 在他們著名的《Einstein Manifolds》一書中提到的“挑戰性”的公開問題的一系列單連通的例子。 作為單位球面中的等參理論的另一個推廣，本項目的另一個研究方向為一般黎曼流形中的等參超曲面理論。一般黎曼流形上的等參超曲面是指一族常平均曲率的平行超曲面。本項目研究成果[4]在（n+1）-維的一般黎曼流形上開創了k-等參超曲面的概念（k=0,1,…,n），給出了從常平均曲率到常主曲率的一個量化工具。 作為等參理論的一個套用，本項目的成果[5]利用在單位球面的 g=4 的極小等參超曲面上構造了三個特徵函式，其臨界點個數不隨特徵值增長而增長，從而給出丘成桐公開問題集中的第 76 個問題的反例。
