不可定義性理論 theory of undefinability 模型論中關於形式語言表達能力的一種研究。在這種研究中，影響較大的有A.帕多瓦、A.塔爾斯基和E.W.貝特等人。可（不可）定義性概念在遞歸論和公理集合論（見集合論）中被廣泛使用，其中有不少特殊的可定義性概念及有關結果，如遞歸論中的分層理論，公理集合論中的可構成集等。
基本介紹
- 中文名：不可定義性理論
- 外文名： theory of undefinability
- 領域：數學
- 發明人：A.帕多瓦、A.塔爾斯基和E.W.貝特
簡介,定義,含義,
簡介
設u是形式語言L的一個模型，a是u的一個元素，如果存在L中一個式子嗞（x），使a是u中唯一的適合嗞（x) 的元素，則稱a為u中的可定義元素，否則稱a為u中的不可定義元素。類似的還可以給出可（不可）定義的函式、集合等概念，它們都可被包含在下述的"可（不可）定義謂詞"概念中。設P(x1,...,xn)是u上的一個謂詞，如果存在L中一個式子嗞（x1,...,xn），使對u中任何元素a1,...,an都有：P(a1,...,an) 成立若且唯若嗞（x1,...,xn）在u中為真，則稱P(x1,...,xn）為在u上可定義的謂詞；否則稱P（x1,...,xn）為在u上不可定義的謂詞。在一般情況下，並不提出特定的模型u，而是在形式語言中討論可定義性概念。設L是一個形式語言，P和P'是L之外的兩個不同的n元謂詞符號，∑（P）是語言 L∪{P}中的一組語句，∑（P'）是語言L∪{P'}中相應的語句組。①如果在 ∑（P）∪∑（P'）的每一模型中都有 （凬x1,...,xn)[P(x1,...,xn）凮P'(x1,...,xn)]成立，則稱 ∑（P）隱含地定義了謂詞P。②如果存在L中一個式子嗞（x1,...,xn），使在∑（P）的每一個模型中都有
（凬x1,...,xn)[P(x1,...,xn）凮嗞（x1,...,xn)]成立，則稱∑（P）明顯地定義了謂詞P。
定義
由以上定義可以看出，如果∑（P）明顯地定義P，則它也隱含地定義P。所以，如果要說明某一組語句∑（P）不能明顯地定義P，只需說明 ∑（P）不能隱含地定義P就夠了，換句話也就是說，只需找到∑（P）∪∑（P'）的一個模型，在其中P與P'有不同的解釋就夠了。這一方法稱為帕多瓦方法。在這方面，貝特在帕多瓦和塔爾斯基的工作基礎上進一步證明了：∑（P）隱含地定義P若且唯若∑（P）明顯地定義P。從而表明，如果∑（P）不能明顯地定義P，則這種不可定義性必能用帕多瓦方法來說明。
含義
在具體模型中的不可定義性方面，塔爾斯基有一個關於自然數系統中真語句集不可定義性的著名定理，其內容如下：令語言 L={+，·，S,O},取L的模型=(N,+，·，S,O），其中 N為自然數集，S為"後繼"運算，考慮L中一切在中為真的語句的集合T，通過適當的有效編碼，就可以把 T看作N的子集。塔爾斯基定理是說：T是不可定義的。該定理與關於的判定問題的不可解性有一定聯繫。 80年代以來，在模型論中對於模型的範疇性，也就是它的完備理論的範疇性，有較多的研究，從性質上說，這是一種關於可定義性的廣義研究。例如，有理數域不是埲 -範疇的，其含義是：在可數無限域範圍內，有理數域不能用關於它的一切一階真語句所成的集合唯一地刻劃；又如，複數域是埌 -範疇的，其含義是：在基數為埌的無限域範圍內，複數域可以用關於它的一切一階真語句所成的集合唯一地刻劃。
