上限和下限

依據緻密性定理，有界數列必有收斂子列，收斂子列的極限中的最大者與最小者特別重要，這就是數列的上、下極限的概念。

基本介紹

• 中文名：上極限和下極限
• 外文名：limit superior and limit inferior
• 學科：數學
• 領域範圍：數學分析
• 屬性：緻密性定理和上、下極限

定義和例子

有界數列 ，令

則 遞增， 遞減，且 。記

分別稱為數列 的下極限和上極限，記作

注

如果數列 無上界，則記 ；如果數列 無下界，則記 。這樣對任何數列取上極限和下極限都是有意義的。

例1

上、下極限的性質

定理1

對任何有界數列 有

定理2

的充要條件是

定理3

設 為有界數列

（1） 為 上極限的充要條件是：任給 ，

（i）存在 ，使得當 時有 ；

（ii）存在子列 ，

（2） 為 下極限的充要條件是：任給 ，

（i）存在 ，使得當 時有 ；

（ii）存在子列 ，

定理4

設 為有界數列，

（1） 為 上極限的充要條件是：對任何 ， 中大於 的項至多有限個；對任何 ， 中大於 的項有無限多個。

（1） 為 下極限的充要條件是：對任何 ， 中小於 的項至多有限個；對任何 ， 中小於 的項有無限多個。

定理5（上、下極限的保不等式性）

設有界數列 滿足：存在 ，當 時有 ，則

特別地，若 為常數，又存在 ，當 時有 ，則

定理6

設 為有界數列，

（1） 為 上極限的充要條件是

（2） 為 下極限的充要條件是

例2

設 為有界數列，證明

證 設由定理3，對任給的，存在，當時有

再利用上極限的保不等式性（定理5）得

故由的任意性得，即可證明結論成立。