基本介紹
- 中文名：三角形外角定理
- 外文名：exterior angle theorem of a triangle
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：平面幾何（三角形）
基本介紹,三角形外角定理的證明,證法一,證法二,推論及證明,證法一,證法二,證法三,
基本介紹
三角形外角定理三角形的任意一個外角等於和它不相鄰的兩個內角之和。如圖，△ABC的一個外角∠CBE=∠A+∠C。
這個定理的證明，如圖所示，利用平行線的性質證明；也可以直接用三角形內角和定理證。
圖1由三角形外角定理不難推出：三角形任意一個外角，大於和它不相鄰的任意一個內角。如圖，∠CBE>∠A，∠CBE>∠C。
三角形外角定理的證明
證法一
利用三角形內角和定理證明有
∠1=∠A，∠2=∠B，∴ ∠1+∠2=∠A∠B(圖2).
圖2證法二
全等形證法
如圖2,設E為AC的中點，連BE且延長到F，使EF= BE，連CF。
在△ABE和△CEF中，
∵∠AEB=∠CEF，BE= EF，AE= EC
∴ △ABE≌△CEF
∴∠1=∠A
∴CF// AB
∴∠2=∠ABC，
∴∠1 +∠2=∠A+∠ABC，
即 ∠ACD=∠A+∠B.
推論及證明
推論 三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
證法一
根據三角形內角和定理推出三角形外角定理
有∠ACD=∠A+∠B，則
∠ACD>∠A(全量大於它的任一部分)
∠ACD>∠B.
證法二
全等形證
如上面圖2，設E為AC的中點，連線BE且延長到F，使EF= BE，連CF，
在△AEB和△CEF中，
∠AEB=∠CEF，BE= EF，AE= EC，
∴△AEB≌△CEF，
∴∠ECF=∠A，
但∠ACD>∠ECF，
∴∠ACD>∠A.
其次，延長AC到G，得到∠ACD=∠BCG，作BC上的中線，並且把它延長，使延長的部分等於原來中線的長。同理可證∠BCG>∠ABC，由此可知∠ACD>∠ABC。
證法三
反證法
圖3假設∠ACD
∠CAB，那么∠ACD=∠CAB，或∠ACD<∠CAB。
(1)若∠ACD=∠CAB(圖3)，
在CD上截取CF= AB，連AF，
在△ABC和△FCA中，
∵AB=CF，AC=AC，∠CAB=∠ACD，
∴△ABC≌△FCA
∴∠BCA=∠FCA，
但是，∠BCA+∠FCA= 180°，
∴∠CAF+∠BAC= 180°.
這就是說∠CAF是∠BAC的補角
但是∠CAE也是∠BAC的補角
∴∠CAF=∠CAE，這是不可能的，
∴∠ACD=∠CAB不成立。
(2)若∠ACD<∠CAB，在△ABC的內部作∠CAE=∠ACD (圖4)
∴∠ACD 為△AEC的一個外角，由(1)可知這是不可能的，
∴∠ACD<∠CAB也不成立，
由(1)、(2)可知∠ACD>∠CAB，
同理可證∠ACD>∠B。
圖4