三次樣條插值

三次樣條插值（Cubic Spline Interpolation）簡稱Spline插值，是通過一系列形值點的一條光滑曲線，數學上通過求解三彎矩方程組得出曲線函式組的過程。

實際計算時還需要引入邊界條件才能完成計算。一般的計算方法書上都沒有說明非扭結邊界的定義，但數值計算軟體如Matlab都把非扭結邊界條件作為默認的邊界條件。

基本介紹

• 中文名：三次樣條插值
• 外文名：Cubic Spline Interpolation
• 簡稱：Spline插值
• 性質：數學術語
• 基礎：樣條插值
• 套用：數學工程等

基本概念

早期工程師製圖時，把富有彈性的細長木條（所謂樣條）用壓鐵固定在樣點上，在其他地方讓它自由彎曲，然後沿木條畫下曲線。成為樣條曲線。

相關函式

三次樣條函式:

定義:函式S(x)∈C2[a,b] ，且在每個小區間[ xj,xj+1 ]上是三次多項式，其中

a =x0 <x1<...< xn= b 是給定節點，則稱S(x)是節點x0,x1,...xn上的三次樣條函式。

若在節點x j 上給定函式值Yj= f (Xj).( j =0, 1, , n) ，並成立

S(xj ) =yj .( j= 0, 1, , n) ，則稱S(x)為三次樣條插值函式。

實際計算時還需要引入邊界條件才能完成計算。邊界通常有自然邊界（邊界點的二階導為0），夾持邊界（邊界點導數給定），非扭結邊界（使兩端點的三階導與這兩端點的鄰近點的三階導相等）。一般的計算方法書上都沒有說明非扭結邊界的定義，但數值計算軟體如Matlab都把非扭結邊界條件作為默認的邊界條件。

數學表達式

一種常用的樣條插值設[a，b]上的插值節點構成[a，b]的一個分劃Δ：a=x₀<x₁<…<x_n=b，f(x)於各節點的值是f(x_i)=f_i(i=0，1，…，n).三次樣條插值問題是求[a，b]上關於分劃Δ的三次樣條函式s(x).根據s(x)應滿足的兩個條件於[x_i，x_i+1]，有

其中h_i=x_i+1-x_i (i=0，1，…，n-1)，M_i=s″(x_i)為待定參數.M₀，M₁，…，M_n滿足線性方程組

h_i-1M_i-1+2(h_i-1+h_i)M_i+h_iM_i+1

方程組(2)是含有n+1個未知數M_i(i=0，1，…，n)的由n-1個方程組成的線性方程組，不能定解.為此尚需補充兩個條件.一般，在插值區間兩個端點各補充一個條件，通常稱為端點條件.最常用的端點條件有三種類型：

1.s′(x₀)=f₀′， s′(x_n)=f_n′.

2.s″(x₀)=f₀″， s″(x_n)=f_n″.

3.s(x₀)=s(x_n) (j=0，1，2).

用M_i表示，這三種條件依次為：

求解過程

1.將方程組(2)與三種端點條件的任何一種聯合，解關於M₀，M₁，…，M_n的線性方程組.

2.將M_i(i=0，1，…，n)代入方程組(1)就得到s(x)關於各子區間的表達式.

特別指出，若第2種端點條件取為

M₀=M_n=0(s″(x₀)=s″(x_n)=0)，

據此得到的樣條插值函式稱為自然樣條，它在理論上，計算實踐上都是很重要的.上面求解三次樣條插值的方法稱為三彎矩法，是三次樣條插值解算方法中最常用的一種。

三次樣條函式的構造

在工程上，構造三次樣條插值函式通常有兩種方法：一是以給定插值結點處得二階導數值作為未知數來求解，而工程上稱二階導數為彎矩，因此，這種方法成為三彎矩插值。二是以給定插值結點處得一階導數作為未知數來求解，而一階導數又稱為斜率，因此，這種方法稱為三斜率插值。