三次方根

如果一個數的立方等於a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根（cube root)。這就是說，如果x^3=a，那么x叫做a的立方根。（注意：在平方根中的根指數2可省略不寫，但三次方根中的根指數3不能省略，要寫在根號的左上角。）

基本介紹

• 中文名：三次方根
• 外文名：cube root
• 基本概念：如果x=a，那么x叫做a的立方根
• 注意：根指數3不能省略 
• 學科：數學
• 套用領域：數理科學

定義

，讀作“三次根號a”，這個根式表示的數即稱為a的立方根。其中，a叫做被開方數，3叫做根指數。

求一個數a的立方根的運算叫做開立方。

所有實數都有且只有一個立方根。

正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0。

三次方根性質

（1）正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0。

（2）在實數範圍內，任何實數的立方根只有一個。

（3）在實數範圍內，負數不能開平方，但可以開立方。

（4）立方與開立方運算，互為逆運算。

（5）在複數範圍內，任何非0的數都有且僅有3個立方根（一實根，二共軛虛根），它們均勻分布在以原點為圓心，算術根為半徑的圓周上，三個立方根對應的點構成正三角形。

（6）在複數範圍內，負數既可以開平方，又可以開立方。

大小比較

（1）做這兩個數的立方，立方數大者大；

（2）作差，即兩數相減，

若差大於0，則被減數大；

若差小於0，則減數大；

若差等於0，則一樣大；

（3）比較被開方數，立方根大者大（如三次根號3大於三次根號2）。

立方根數值

以下數值均取6位有效數字，正被開方數取正值，負被開方數取負值：

±1：±1.00000

±2：±1.25992

±3：±1.44225

±4：±1.58740

±5：±1.70998

±6：±1.81712

±7：±1.91293

±8：±2.00000

±9：±2.08008

±10：±2.15443

±11：±2.22398

±12：±2.28943

±13：±2.35133

±14：±2.41014

±15：±2.46621

±16：±2.51984

±17：±2.57128

區別聯繫

兩者區別：

（1）定義不同

平方根：如果一個數的平方等於 a，那么這個數就叫 a 的平方根或二次方根，即如果 ，那么 x 就叫 a 的平方根；

立方根：如果一個數的立方等於 a，那么這個數叫做 a 的立方根或三次方根，即如果，那么 x 叫做 a 的立方根。

（2）表示方法不同

平方根用“ ”表示，根指數 2 可以省略；算術平方根用“”表示，根指數 2 可以省略；

立方根用“”表示，根指數 3 不能略去，更不能寫成“”。

（3）存在的條件不同

a 有平方根的條件：a≥0，因為正數、零、負數的平方都不是負數，故負數沒有平方根和算術平方根；

a 有立方根的條件：a 為全體實數，即正數、負數、零均可。

（4）結果不同

平方根的結果除0之外，有兩個互為相反的結果；

立方根的結果有3個（除0以外，且在複數範圍內），3個立方根均勻分布在以原點為圓心，算術根為半徑的圓周上，三個立方根對應的點構成正三角形。

兩者聯繫：

二者都是與乘方運算互為逆運算

開立方的公式

若設，求X稱為開立方。開立方有一個標準的公式：

例如，A=5，即求5介於1的3次方至2的3次方之間（1的3次方=1，2的3次方=8）

初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9都可以。例如我們取X0 = 1.9按照公式：

第一步：X1=1.9+（5/1.9^2-1.9）1/3=1.7。

即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528）=1.7。即取2位數值，即1.7。

第二步：X2=1.7+（5/1.7^2-1.7）1/3=1.71。

即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位數，比前面多取一位數。

第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71）1/3=1.709

第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709）1/3=1.7099

這種方法可以自動調節，第一步與第三步取值偏大，但是計算出來以後輸出值會自動轉小；第二步，第四步輸入值偏小，輸出值自動轉大。即5=1.7099^3；

當然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，1.8，1.9中的任何一個。當然，我們在實際中初始值最好採用中間值，即1.5。1.5+（5/1.5^2;-1.5）1/3=1.7。