三叉戟(數學曲線名稱)

三叉戟(數學曲線名稱)

函式y=ax2+b/x（a>0，b>0）的圖像稱為三叉戟曲線。

三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函式y=ax2+b/x的圖像恰如其形，因而得名。牛頓最早研究了這個函式的圖像，所以也稱它為牛頓三叉戟。

基本介紹

  • 中文名：牛頓三叉曲線
  • 外文名：Trident  of  Newton
  • 學科：數學
介紹,性質,漸近線,單調性,最小值,初等證明,單調性,最小值,其它各種符號,舉例,

介紹

函式
（
）的圖像稱為牛頓三叉戟曲線，也稱其為牛頓三叉戟。
函式
（
）的圖像很像希臘神話中海神波塞冬的武器三叉戟，而牛頓最早研究了這個函式的圖形從而有了牛頓三叉戟的名稱。
三叉戟

性質

漸近線

（1）因為
→0時
→
，所以牛頓三叉戟有一條鉛直漸近線
。
（2）牛頓三叉戟還有兩條曲線漸近線
（I）
→0時，牛頓三叉戟有雙曲線漸近曲線
；
（II）
→
時，牛頓三叉戟有拋物線漸近曲線
。

單調性

函式
（
）在區間（
）、（
）上單調遞減；而在區間（
）上單調遞增。

最小值

函式
（
）在區間（
）上有最小值
。

初等證明

單調性

當
時，
、
，所以
，可知函式
（
）在區間（
）上單調遞減；
當
時，
，所以函式
（
）在區間（
]上單調遞減；
當
時，
，所以函式
（
）在區間[
）上單調遞增。

最小值

利用上述單調性，即可知函式
（
）在區間（
）上有最小值
。
也可以不依賴於單調性，而直接利用均值不等式來證明：
，等號在
時成立。
即當時，函式在區間（
）上有最小值
。

其它各種符號

在
其它各種符號下三叉戟的圖形
三叉戟
三叉戟
三叉戟

舉例

上海2007年高考數學試卷第19題：就是一個牛頓三叉戟問題。
已知函式
，
（1）判斷
的奇偶性；
（2）若
在[2，
）上是增函式，求實數
的範圍。
【解】（1）當
時，
是偶函式；當
時，
既不是奇函式，也不是偶函式。
（2）當
時，
在(0，
）上是增函式，一定也在[2，
）上是增函式；
當
時，
是(0，
）上的增函式，一定也是[2，
）上的增函式；
當
時，
的單調增加區間為 [
，
），據題意有
[
，
），得
。
綜合起來可得實數
的範圍是(
，16]。

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