q-指數分布函式的非廣延特性研究

《q-指數分布函式的非廣延特性研究》是依託華僑大學，由歐聰傑擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：q-指數分布函式的非廣延特性研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：歐聰傑
• 依託單位：華僑大學

項目摘要

對於具有長程相互作用和（或）長時記憶效應的複雜系統，目前已從大量的實驗觀測中發現其微觀幾率分布偏離了原來的指數分布，在數學形式上呈現一種更一般性的q-指數分布，該分布反映了物理系統內部的非廣延性，由此產生了多種不同的統計研究方法。本項研究對比目前各種統計方法的異同，尋找一種可以和q-指數分布直接對應的非廣延熵形式，並進一步分析和熵對應的其他物理量如內能、自由能等的非廣延特性，在此基礎上建立自洽的熱力學關係，進一步發展和完善這一新興理論；針對有限小系統理論推導所得的q-指數分布進行分析，探索長程相互作用和非廣延參數q之間的具體聯繫；同時結合量子氣體系統的已有結論，進一步分析內部相互作用以及系統有限性對熱力學性質所產生的影響，尋找提高BEC臨界溫度的途徑。

結題摘要

對於具有長程相互作用和（或）長時記憶效應的複雜系統，目前已從大量的實驗觀測中發現其微觀幾率分布偏離了傳統的玻爾茲曼指數分布，在數學形式上呈現出一種更一般性的q-指數分布，該分布反映了物理系統內部的非廣延性，由此產生了多種不同的統計研究方法，如Tsallis統計，非完整統計等等。這些統計方法從非廣延熵的定義出發，分析子系統之間的幾率分布、能量耦合等一系列問題，探索熱力學基本定律的表達形式。我們系統分析了非完整統計框架下的子系統之間的相互作用，重新討論了非完整統計中的溫度定義，發現熱力學第零定律在非完整統計中的表述形式不變，為保證熱力學與統計的一致性，非完整統計體系內子系統之間的能量應該以一種非廣延的形式進行耦合。在此基礎上，我們對比了Tsallis統計和非完整統計的幾率歸一化形式，發現了兩者之間的數學結構具有對稱性，雖然這兩種統計的出發點和描述對象均不相同，但很多的數學表達式存在對應關係。我們採用一種更一般的幾率歸一化描述，可以將這些非廣延統計方法進行統一表示。然而，進一步的研究發現，目前已有的數類非廣延統計方法均無法通過求非廣延熵的極值來導出q-指數分布，儘管之前已有許多文獻討論過此類問題，但總是存在一些數學近似。通過熱力學第一定律和第二定律的數學表達式可以發現熱力學熵的變分與系統微觀狀態的分布函式之間存在一一對應的關係，利用這一關係可以求出q-指數分布所對應的熵。這一熵函式不同於之前的任何一種非廣延熵，而且它同樣具備凹狀性、佯可加性、非負性以及在q-＞1時候退化至玻爾茲曼熵的兼容性，尤為重要的是，我們驗證了該熵具備Lesche穩定性。 除了分析非廣延熵的熱力學性質，我們也積極尋找q參數在一些實際系統中的意義。如圖像系統中各個像素點之間的灰度關聯，複雜系統的自相似結構，時間序列的長程關聯等等。這些將為研究自然界大量存在的q-指數分布奠定基礎。 在分析非廣延量子系統的過程中，我們注意到有限小量子系統的熱力學性質，將量子體系的演化過程與熱力學過程進行對比，可以考察不同過程中熱力學量的變化，並研究微小量子系統內部的熱力學基本原理，進一步理解熱力學規律的一般性。