e^x≥x+1

e^x≥x+1是高中階段常用的不等式，沒有正式名稱，常被數學老師叫做“熟知不等式”“簡單不等式”“自然對數不等式”“王吃不等式”“常用不等式”等等。高中階段理科數學導數部分題型常用到此不等式或其變式。

基本介紹

• 中文名：無正式名稱
• 別名：熟知不等式，自然對數不等式，王吃不等式，常用不等式
• 表達式：ln(x+1)≤x,e^x≥x+1
• 適用領域：導數，不等式
• 套用學科：數學

基本信息

e^x≥x+1是高中階段常用的不等式，沒有正式名稱，常被數學老師叫做“熟知不等式”“簡單不等式”“自然對數不等式”“王吃不等式”“常用不等式”等等。高中階段理科數學導數部分題型常用到此不等式或其變式。

證明

設f(x)=e^x–x–1

則f'(x)=e^x–1

令f'(x)≥0

得x≥0

故f(x)在[0,+∞)單調遞增，在(–∞,0]單調遞減

f(x)min=f(0)=0

故f(x)≥0

即e^x≥x+1①,當x=0時取等

變式

ln(x+1)≤x,x=0時取等 (①兩邊取對數可證)

ln(x+1)≥x/(x+1),x=1時取等 (套用①的方法求導可證)

x/(x+1)^(1/2)≥ln(x+1)≥2x/(x+2)②在 x≥0時成立，x≤0時不等號相反，x=0時取等(求導易證)

2(x2-x1)/(x1+x2)≤lnx2-lnx1≤(x2-x1)/(x1x2)^(1/2),(x1x2)^(1/2)≤(x2-x1)/(lnx2-lnx1)≤(x1+x2)/2 (可化為2(x2/x1-1)/(x2/x1+1)≤ln(x2/x1)≤(x2/x1–1)/(x2/x1)^(1/2),即②中x=x2/x1-1)