Ward-Takahashi恆等式

若多體系統的拉氏函式具有對稱性，它在連續對稱群G的宇觀作用下不變，那么閉路格林函式將滿足一組恆等式，稱為Ward-Takahashi恆等式。

基本介紹

• 中文名：Ward-Takahashi恆等式
• 外文名：Ward-Takahashi identities
• 定義：閉路格林函式滿足一組恆等式
• 套用學科：量子力學術語
• 範疇：數理科學
• 涉及：拉氏函式

概念

若多體系統的拉氏函式具有對稱性，它在連續對稱群 的宇觀作用下不變，那么閉路格林函式將滿足一組恆等式，稱為 恆等式。

令 表示場量， 為感興趣的複合運算元， 和 都有許多分量，組成群 的表示的基。在群 的無窮小變換下，設 和 的變化規則為

其中

為時空坐標在群 作用下的變換； 為無窮小參量，它共有 個， 是群 的維數，或它的生成元的個數； 和 分別為群 的生成元作用在 和 上的矩陣。

容易證明

以及

下面，我們令 為 的任意無窮小函式，容易證明拉氏函式 有下列變換關係：

其中

為與 方向上變換相連繫的流。若拉氏函式在群 的宇觀變換下不變，應有

或流 滿足關係

上式表明，當 為運動方程時的解時，相應的流守恆， 。將 代入 式子中，對任意的無窮小函式 ，當拉氏函式具有群 的宇觀不變性時，得到關係

我們將用上式求出閉路格林函式的生成泛函所滿足的 恆等式。

基本原理

將閉路格林函式的生成泛函寫成 積分路徑的形式，並引進序參量 的外源 ，有

其中 為歸一化因子。在上式中，假定在閉路上，正支的外源和負支的外源不等。

在上式中作積分變數的變換，將換成

為滿足下列邊界條件的無窮小函式

經過這一積分變數的變換，生成泛函是不變的，因為它是一個么正變換，路徑積分內的測度也不變。因此，準確到的一級小量得到如下的量應為零：

在上式第一項中作分部積分，並注意的邊界條件，得到

上式就是我們求得的恆等式。