《Volterra方程與高維分數階擴散方程的理論與數值研究》是依託福州大學，由李嫻娟擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Volterra方程與高維分數階擴散方程的理論與數值研究
- 依託單位：福州大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：李嫻娟
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬從理論和數值計算兩方面對 Volterra 積分方程以及高維分數階擴散方程進行深入研究，主要內容包括以下兩個方面：.提出採用時間並行算法對 Volterra 積分方程進行數值求解。該工作主要包括兩方面：第一，提出用時間並行算法結合譜方法對積分方程進行求解的高階數值方法；第二, 對該方法的收斂性展開嚴格的理論分析。該方法將有效地解決在用低階數值方法求解積分方程時遇到的巨大存儲和計算時間問題。. 研究高維時間- - 空間分數階擴散方程初邊值問題的適定性及其數值解。該工作首先導出高維分數階擴散方程初邊值問題的弱形式及弱解的存在唯一性。其次，基於弱解理論,提出用並行算法結合時間- - 空間譜方法數值求解並開展收斂性分析。 適定性理論的建立，高效數值方法的提出，使得數值求解長時間高維分數階偏微分方程初邊值問題成為可能。這將有助於促進高維分數階方程模型在物理、生物等科學領域中的套用。
結題摘要
本項目從理論和數值計算兩方面對Volterra 積分方程, 時間空間變分數階擴散方程，三角譜方法的LBB條件數，三角元上的二階微分運算元的特徵值，分數階運算元的特徵值進行深入研究，主要內容如下： （1）提出採用時間並行算法對Volterra 積分方程進行數值求解。該工作主要包括兩方面：第一，提出用時間並行算法結合譜方法對積分方程進行求解的高階數值方法；第二, 對該方法的收斂性展開嚴格的理論分析。該方法有效地解決在用低階數值方法求解積分方程時遇到的巨大存儲和計算時間問題。 （2）提出採用Galerkin 方法求解具有弱奇異核Volterra 積分方程，並給出嚴格的收斂性證明。誤差分析結果表明，當方程右端項具有一定正則度時，數值解與精確解之間的L^2-以及L^\infty-誤差隨多項式階數的增加呈指數衰減。 （3）對變分數階的擴散-對流方程構造了具有高精度的、穩定的、相容的隱式數值離散格式，並給出相應的穩定性和收斂性證明和算例驗證。 （4）從理論上嚴格證明了三角形上譜方法的最優Inf-Sup常數為N^{-1/2}, 同時導出壓力誤差估計。同時證明了三角元上的二階運算元的特徵值為N^8。（5）研究分數階擴散運算元，分數階對流擴散運算元以及分數階積分運算元的離散特徵值與離散階數N之間的關係。
