留數(複變函數論中重要概念)

留數是複變函數中的一個重要概念，指解析函式沿著某一圓環域內包圍某一孤立奇點的任一正向簡單閉曲線的積分值除以2πi。留數數值上等於解析函式的洛朗展開式中負一次冪項的係數。根據孤立奇點的不同，採用不同的留數計算方法。留數常套用在某些特殊類型的實積分中，從而大大簡化積分的計算過程。

基本介紹

• 中文名：留數
• 外文名：Residue
• 所屬學科：複變函數
• 數值上等於：解析函式洛朗展開負一次冪項係數
• 留數計算：根據孤立奇點採用不同的計算方法
• 套用：簡化某些類型的實積分的計算過程
• 定理名稱：留數定理

洛朗展開

若 是 的孤立奇點且 在 內解析，則 的洛朗展開式為：

（泰勒公式展開）

定義

設 是 的孤立奇點， 在圓環域D： 內解析，C是D內圍繞 的任一正向簡單閉曲線，則稱積分

為 在 處的留數，記為 ，即

其中 為 的洛朗展開式中負冪項 的係數。

留數定理

設函式 在區域D內除有限個孤立奇點 外處處解析，C是D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，那么

留數的計算

可去奇點處留數的計算

若為 的可去奇點，則 在 的去心鄰域內的洛朗展開式中沒有負冪項，因此 ，即 。

本性奇點處留數的計算

若為 的本性奇點，則需要將在的去心鄰域內進行洛朗展開，然後求出負一次冪項的係數，即為留數。

極點處留數的計算

1）若為的單極點，則

2）若，其中在處解析，如果，為的1級零點，則為的單極點，且

3)若為的m階極點，則

根據上面孤立奇點的類型，採用不同的計算方法，可以減少計算積分的工作量。

套用

利用留數定理，可以將特殊類型的實積分轉換為某個複變函數沿簡單閉曲線的積分，然後利用留數定理計算，從而大大簡化計算過程。