O'Stolz定理是處理數列不定式極限的有力工具，一般用於*/∞型的極限(即分母趨於正無窮大的分式極限，分子趨不趨於無窮大無所謂)、0/0型極限(此時要求分子分母都以0為極限)。O'Stolz定理用於數列，它有函式形式的推廣，這兩個都可以認為是洛必達法則的離散版本。
基本介紹
- 中文名：O'Stolz定理、施篤茲定理、施托爾茲定理
- 外文名：The O'Stolz theorem
- 性質：定理
- 學科：數學
- 用於：不定式數列極限
定理簡介,證明過程,一個例子,
定理簡介
(
型) 設數列
、
滿足：①
嚴格單調遞增 ②
③
(其中
可以為有限實數、
、
)
則
這個是較常用的版本
(
型) 設數列、滿足：①嚴格單調遞減且趨於零 ②
③ (其中可以為有限實數、、)
則
證明過程
一、
型
(當
為有限實數時)由
，
，
，當
時，
， 即
(這裡可以把
乘到不等號另一邊是因為
嚴格單調遞增，所以
，乘到不等號另一邊時不變號)
又由
，∴
，當
時，
(這裡是根據數列趨於正無窮大的定義)，∴
(注一)
取
，當
時，從
到
對
式累加，有
累加得
同除
(還是因為
嚴格單調遞增， ，
，
)，還注意到
，因為
，
即
，由 ，且
、
是常數，因為
是確定的下標！由極限的四則運算法則，
(注二)，
，同理
，再由極限的四則運算法則，
，
[1]
即
，
__________________________________________________________________________________________
為了方便初學者，這裡解釋一下以上的跳步。注意以下的註裡出現的符號與上面證明的符號是分開的！比如注一的
與證明里的
不同啊，初學者不要搞混。
注一：我們可以證明，若 ，則 ，
證明：由 ，
，
，當
時， ，
，∴
， ，當 時，
，即
注二：由注一， ，可推出
，相當於去掉了第一項，然而極限是趨於無窮的行為，有沒有這一點對極限毫無影響，後面的
也是如此，當然這一點是可以證明的，這裡略去。可以看[2]的第4題的證明過程。
還有倒數第二段那裡一堆的使用極限四則運算法則，嚴謹性是達到了，為了初學者能正確掌握，但是看起來很繁瑣，其實這段裡面的一些步驟在已經學了數學分析的同學眼裡是已知的，無須寫出來的。所以如果你要在正式場合寫該定理的證明，以上證明中的"因為"後面的解釋說明和倒數第二段的繁雜過程可以刪減，按你的意願做相應簡化即可。
一個例子
例：求極限
(k為正整數)。
解：令
，
由O'Stolz定理
=
=
註：
