《N人博弈中的均衡點》由約翰·福布斯·納什（John Forbes Nash Jr）1950年發表於普林斯頓。與另外一篇題為《非合作博弈》（1951）兩篇論文的發表，體現了納什的主要學術貢獻。
在上述論文中，納什介紹了合作博弈與非合作博弈的區別。他對非合作博弈的最重要貢獻是闡明了包含任意人數局中人和任意偏好的一種通用解概念，也就是不限於兩人零和博弈。該解概念後來被稱為納什均衡。
基本介紹
- 中文名：N人博弈中的均衡點
- 外文名：Equilibrium Points in n-Person Games
- 作者：John F. Nash
N人博弈的均衡點
約翰·F·納什
可以這樣定義n人博弈（n-persongame），n個參與人（player），每個參與人的純策略（purestrategy）集為有限集，對於每個純策略的n元組合，n個參與人具有與之對應的明確的支付集，純策略的n元組合中，一個策略對應一個參與人。混合策略（mixedstrategy）是純策略上的機率分布，支付函式（pay-offfunction）是參與人的期望，因此在機率上是多元線性形式的，表示各個參與人採用各個純策略的機率。
任意的策略n元組合（n-tupleofstrategies），一個策略對應一個參與人，可以看作是由參與人的n個策略空間相乘得到的乘積空間（productspace）中的一點。一個這樣的n元組合優超（counter）另一個，如果優超的n元組合中的每個參與人的策略，使得該參與人產生最高可得期望。這是因為給定的優超n元組合中任一參與人都會對抗其他參與人的n-1個策略。自我優超(self-countering)的策略n元組合稱為均衡點。
每個n元組合與其優超集的對應，都給出了乘積空間到其本身的一個一對多的映射（aone-to-manymapping）。從優超的定義，我們看到一點的優超點的集合是凸的（convex）。利用支付函式的連續性，我們得到該映射的圖是閉的。閉性等價於：如果P1，P2，···和Q1，Q2，···，Qn，···是乘積空間中的點列，並且Qn→Q,Pn→P,Qn優超Pn，那么Q優超P。
因為圖是閉的，並且每個點在映射下的對應是凸的，由角谷不動點定理（Kakutani`stheorem）我們得到該映射存在不動點（即該點包含在它自已的對應中）。因此，存在均衡點。
在二人零和博弈中，“主要定理”和均衡點的存在性是等價的。在這種情況下，任意兩個均衡點對每個參與人導致相同的期望，但是一般情況下並不成立。
