設 p(z) 是一個複數域上的三次多項式， z1 、 z2 、 z3 是 p(z) 的三個根，它們在複平面上不共線。那么，在這個複平面上存在唯一的橢圓，使得它與三角形 z1z2z3 的各邊都相切，並且都切於各邊的中點處。並且，這個橢圓的兩個焦點是 p'(z) 的兩根。
基本介紹
- 中文名：Marden定理
- 提出者：Marden
- 提出時間：1945 年
- 套用學科：數學
簡介,定理核心,示例,
簡介
讀完這個結論以後，你一定會被數學之美深深地打動。這個結論出現在了 Morris Marden 於 1945 年發表的一篇論文裡，因而被 Dan Kalman 稱為 Marden 定理。 Marden 本人則認為，這個結論最早是由 Jörg Siebeck 在 1864 年發現並證明的。
其實，結論的前半部分並不奇怪，對於任意一個三角形，內切於各邊中點的橢圓本來就是唯一的。這是很容易證明的，其中一種證明方法是，通過線性變換把這個三角形變形成一個等邊三角形，那么內切於各邊中點的橢圓仍然是內切於各邊中點的橢圓，然而在一個等邊三角形中，內切於各邊中點的橢圓只有一個，就是這個等邊三角形的內切圓。關於這一點，詳細的證明可以參見這裡。
定理核心
Marden 定理的核心：為什麼這個橢圓的兩個焦點就是 p'(z) 的兩根。
示例
首先，讓我們來說明，為了證明 Marden 定理，我們可以把三角形 z1z2z3放置在複平面上的任意一個對我們有利的位置。因為，如果對於複平面上的某一個三角形來說命題是成立的，那么任意地對這個三角形進行縮放、旋轉、平移，命題仍然是成立的。為什麼？這是因為，對三角形的縮放、旋轉、平移，說白了就是對三角形中的各個點進行變換操作 M(z) = αz + β ，其中 α 和 β 是兩個固定的複數常數，並且 α ≠ 0 。讓 z 與 α 相乘的結果就是對 z 進行縮放和旋轉，而 β 則表示在此之後平移量的大小。假設我們的命題對三角形 z1z2z3成立，對整個複平面進行上述變換後，三角形的三個頂點就分別移到了 M(z1) 、 M(z2) 、 M(z3) 。同時，三角形的內切橢圓以及橢圓的兩個焦點也都被順帶著移動了過去，內切橢圓還是內切橢圓，橢圓的焦點也還是橢圓的焦點。另外，原來的多項式是 p(x) = (z - z1)(z - z2)(z - z3) ，變換之後，新多項式 pM(x) 就變成了 (z - M(z1))(z - M(z2))(z - M(z3)) 。假設原橢圓的兩個焦點分別是 f1和 f2，我們已經知道了它們正好是 p'(z) 的兩根。我們想要確認的就是，新橢圓的兩個焦點 M(f1) 和 M(f2) 正好就是 pM'(z) 的兩個根。
把 pM(z) 中的 z 全部用 M(z) 代換，得到：
pM(M(z)) = (M(z) - M(z1))(M(z) - M(z2))(M(z) - M(z3))
注意到 M(z) - M(z1) 就等於 α(z - z1) （因為 β 被抵消了），同理，上式的後面兩個因式也分別等於 α(z - z2) 和 α(z - z3) 。於是，整個上式化簡為：
pM(M(z)) = α3(z - z1)(z - z2)(z - z3)
即：
pM(M(z)) = α3· p(z)
在等式兩邊同時取導數（注意到 M'(z) = α ），於是得到：
α · pM'(M(z)) = α3· p'(z)
也就是：
pM'(M(z)) = α2· p'(z)
這說明，如果 f1是 p'(z) 的根，那么 M(f1) 也將是 pM'(z) 的根；類似地，如果 f2是 p'(z) 的根，那么 M(f2) 也將是 pM'(z) 的根。這正是我們剛才想要說明的事情。
為了證明 Marden 定理，我們還有一個準備工作要做。讓我們來證明下面這個引理：如圖， F1、 F2是給定橢圓的兩個焦點，過橢圓外的一點 A 向橢圓作兩條切線，切點分別為 G1和 G2，則有 ∠F1AG1= ∠F2AG2。其實，這個引理包含了兩種不同的情況，如果把上面的 G1和 G2兩個點反過來標，我們將會得到另外一種情況。不過，如果我們證明了在第一種情況下結論始終成立，第二種情況也就自動地獲證了。因此，我們可以直接假設 G1和 G2的標法就如上圖所示。
證明這個引理需要用到與橢圓有關的一個非常經典的結論：從其中一個焦點出發的光線，射向橢圓內壁的任意一個位置，反射光線總會經過這個橢圓的另外一個焦點。換句話說，在上圖當中，過橢圓上的點 T 作切線，則 ∠1 將會等於 ∠2 。你可以在這裡看到與橢圓的這個性質有關的更多討論。
沿著切線 AG1將 F1翻折到 H1，那么 H1、 G1、 F2將會共線。類似地，沿著切線 AG2將 F2翻折到 H2，那么 H2、 G2、 F1也將會共線。為了證明 ∠F1AG1= ∠F2AG2，我們只需要證明 ∠F1AH1= ∠F2AH2即可。
由於 H1F2= H1G1+ G1F2= F1G1+ G1F2= F1G2+ G2F2= F1G2+ G2H2= F1H2，另外由剛才的翻折可知 F1A = H1A ，並且 F2A = H2A ，於是三角形 AH1F2和三角形 AF1H2全等。這告訴我們 ∠H1AF2= ∠F1AH2，同時減去一個公共部分後即得 ∠F1AH1= ∠F2AH2，引理也就證到了。
我們已經準備好證明 Marden 定理了。我們首先說明，以 p'(z) 的兩根為焦點的橢圓，如果經過三角形 z1z2z3某條邊上的中點，則它一定會與這條邊相切。為此，我們把三角形的三個頂點擺放到複平面上的 -1 、 1 和 w = a + bi 三個位置，其中 b > 0 ，於是 p(z) = (z - 1)(z + 1)(z - w) = z3- w · z2- z + w 。對 p(z) 求導後得 p'(z) = 3 · z2- 2 · w · z - 1 。
假設 p'(z) 的兩根是 f1和 f2，則兩根之和 f1+ f2= 2 · w / 3 ，兩根之積 f1· f2= - 1 / 3 。前一個式子說明了 f1和 f2當中至少有一個在 x 軸上方，而在後一個式子中， f1· f2居然沒有虛數部分，這就說明了 f1和 f2其實都在 x 軸上方，並且 θ1+ θ2= 180° 。因而，如果以 f1和 f2為焦點，作一個過原點 0 的橢圓，則 x 軸就是一條經過該點的直線，它滿足 ∠1 = ∠2 ，這表明 x 軸就是橢圓在該點處的切線。而 x 軸其實就是三角形的底邊，原點 0 正是三角形底邊的中點！
由於以同一對點為焦點只能作出一個與給定直線相切的橢圓，因而這就順便說明了，以 p'(z) 的兩根為焦點的橢圓，如果與三角形 z1z2z3的某條邊相切，則它一定會與這條邊切於中點處。
最後我們來說明，以 p'(z) 的兩根為焦點的橢圓，如果與三角形 z1z2z3的其中一條邊相切了，則它一定會與三角形的三條邊都相切。由剛才的推論可知，所有的切點都將會是中點， Marden 定理就證到了。這一次，讓我們把三角形的三個頂點放在 0 、 1 、 w = a + bi 三個位置，其中 b > 0 。稍後我們將會看到，以 p'(z) 的兩根為焦點並且切於底邊的橢圓也會與 0w 相切。由對稱性，它一定也會和第三條邊相切。
取 p(z) = z(z - 1)(z - w) = z3- (1 + w) · z2+ w · z 。求導得： p'(z) = 3 · z2- 2 · (1 + w) · z + w 。
假設 p'(z) 的兩根是 f1和 f2。剛才我們已經知道了， f1和 f2一定都在 x 軸的上方。不過這一次，兩根之積 f1· f2等於 w / 3 。這告訴了我們什麼？這告訴了我們， θ1+ θ2= θ ，換句話說， ∠1 = ∠2 ！假設以 f1和 f2為焦點作了一個橢圓， x 軸正好是一條切線，那么根據前面我們證過的那個結論，經過原點的另一條切線將會滿足 ∠1 = ∠2 ，這說明它與 0w 這條線重合。因而， 0w 就是這另外一條切線。這就完成了 Marden 定理的最後一環。
