KM算法

KM算法是一種計算機算法，功能是求完備匹配下的最大權匹配。在一個二分圖內，左頂點為X，右頂點為Y，現對於每組左右連線XiYj有權wij，求一種匹配使得所有wij的和最大。

基本介紹

• 中文名：KM算法
• 用途：求的是完備匹配下的最大權匹配
• 基本原理：相等子圖等
• 注意：找匹配時USED都是清0的等

解決思路

基本原理

該算法是通過給每個頂點一個標號（叫做頂標）來把求最大權匹配的問題轉化為求完備匹配的問題的。設頂點 的頂標為 ，頂點 的頂標為 ，頂點 與 之間的邊權為 。在算法執行過程中的任一時刻，對於任一條邊 ， 始終成立。

KM算法的正確性基於以下定理：

若由二分圖中所有滿足 的邊 構成的子圖（稱做相等子圖）有完備匹配，那么這個完備匹配就是二分圖的最大權匹配。

首先解釋下什麼是完備匹配，所謂的完備匹配就是在二部圖中， 點集中的所有點都有對應的匹配且 點集中所有的點都有對應的匹配，則稱該匹配為完備匹配。

這個定理是顯然的。因為對於二分圖的任意一個匹配，如果它包含於相等子圖，那么它的邊權和等於所有頂點的頂標和；如果它有的邊不包含於相等子圖，那么它的邊權和小於所有頂點的頂標和。所以相等子圖的完備匹配一定是二分圖的最大權匹配。

初始時為了使 恆成立，令 為所有與頂點 關聯的邊的最大權， 。如果當前的相等子圖沒有完備匹配，就按下面的方法修改頂標以使擴大相等子圖，直到相等子圖具有完備匹配為止。

我們求當前相等子圖的完備匹配失敗了，是因為對於某個 頂點，我們找不到一條從它出發的交錯路。這時我們獲得了一棵交錯樹，它的葉子結點全部是 頂點。現在我們把交錯樹中 頂點的頂標全都減小某個值 ， 頂點的頂標全都增加同一個值 ，那么我們會發現：

1）兩端都在交錯樹中的邊 ， 的值沒有變化。也就是說，它原來屬於相等子圖，現在仍屬於相等子圖。

2）兩端都不在交錯樹中的邊 ， 和 都沒有變化。也就是說，它原來屬於（或不屬於）相等子圖，現在仍屬於（或不屬於）相等子圖。

3） 端不在交錯樹中， 端在交錯樹中的邊 ，它的 的值有所增大。它原來不屬於相等子圖，現在仍不屬於相等子圖。

4） 端在交錯樹中， 端不在交錯樹中的邊 ，它的 的值有所減小。它原來不屬於相等子圖，現在可能進入了相等子圖，因而使相等子圖得到了擴大。

5）到最後， 端每個點至少有一條線連著， 端每個點有一條線連著，說明最後補充完的相等子圖一定有完備匹配。（若由二分圖中所有滿足 的邊 構成的子圖（稱做相等子圖）有完備匹配，那么這個完備匹配就是二分圖的最大權匹配。）

現在的問題就是求 值了。為了使 始終成立，且至少有一條邊進入相等子圖， 應該等於： （ 在交錯樹中， 不在交錯樹中）。

改進

以上就是KM算法的基本思路。但是樸素的實現方法，時間複雜度為 ——需要找 次增廣路，每次增廣最多需要修改 次頂標，每次修改頂標時由於要枚舉邊來求 值，複雜度為 。實際上KM算法的複雜度是可以做到 的。我們給每個 頂點一個“鬆弛量”函式 ，每次開始找增廣路時初始化為無窮大。在尋找增廣路的過程中，檢查邊 時，如果它不在相等子圖中，則讓 變成原值與 的較小值。這樣，在修改頂標時，取所有不在交錯樹中的 頂點的 值中的最小值作為 值即可。但還要注意一點：修改頂標後，要把所有的不在交錯樹中的 頂點的 值都減去 。

Kuhn－Munkres算法流程：

（1）初始化可行頂標的值；

（2）用匈牙利算法尋找完備匹配；

（3）若未找到完備匹配則修改可行頂標的值；

（4）重複（2）（3）直到找到相等子圖的完備匹配為止。

C/C++代碼

const int N = 20, inf = 2147483647;int w[N][N], linky[N], visx[N], visy[N], lack;int lx[N] = {0}, ly[N] = {0}; //頂標bool find(int x) {    visx[x] = true;    for (int y = 0; y < N; ++y) {        if (visy[y]) continue;        int t = lx[x] + ly[y] - w[x][y];        if (!t) {            visy[y] = true;            if (!~linky[y] || find(linky[y])) {                linky[y] = x;                return true;            }        } else lack = min(lack, t);    }    return false;}void km() {    memset(linky, -1, sizeof(linky));    for (int i = 0; i < N; ++i)        for (int j = 0; j < N; ++j)            lx[i] = max(lx[i], w[i][j]); //初始化頂標    for (int x = 0; x < N; ++x)        for (; ;) {            memset(visx, 0, sizeof(visx));            memset(visy, 0, sizeof(visy));            lack = inf;            if (find(x)) break;            for (int i = 0; i < N; ++i) {                if (visx[i]) lx[i] -= lack;                if (visy[i]) ly[i] += lack;            }        }}

KM算法和最大匹配（匈牙利算法）

2010.7.18

匈牙利算法的分析與運用：

匈牙利算法的精髓在於USED哈希數組的使用，下面是匈牙利算法的主要模組：

function find(x:longint):boolean;var kkk, i, j:longint;begin    for j := 1 to m do        if (line[x,j]) and (not used[j]) then        begin            used[j] := true;            if (mm[j]=0) or (find(mm[j])) then            begin                mm[j] := x;                exit(true);            end;        end;    exit(false);end;

在原程式進行調用是也就是簡簡單單的一句話：

for i := 1 to n dobegin    fillchar(used, sizeof(used), 0);    if find(i) then inc(all);end;

注意

每一次找匹配時USED都是清0的，這是為了記錄什麼可以找，什麼不可以找，說白了，這個模組就是一個遞歸的過程，USED的套用就是為了限制遞歸過程中的尋找範圍，從而達到“不好則換，換則最好”，這裡的最好是“新換”中最好的。

匈牙利算法解題是極為簡單的，但是圖論的難並不是難在解答，而是建圖的過程，也難怪會有牛曰：用匈牙利算法，建圖是痛苦的，最後是快樂的。當然，我們這些蒟蒻也只能搞搞NOIP了，一般不會太難，所以此算法，極為好用。

KM算法：

最大流的KM算法，又算的上算法世界中的一朵奇葩了。

解決最大流問題可以使用“網路流”，但較為繁瑣，沒有KM來得痛快，

下面是KM算法的核心模組：

function find(x:byte):boolean;var y:byte;begin    find := false;    vx[x] := true;    for y := 1 to n do        if (not vy[y]) and (lx[x] + ly[y] = w[x,y]) then        begin            vy[y] := true;            if (aim[y] = 0) or (find(aim[y])) then            begin                aim[y] := x;                exit(true);            end;        end;end;

可以見出，該模組與匈牙利算法極為相似，差別便是:

if (not vy[y]) and (lx[x] + ly[y] = w[x,y])

判斷語句了，這裡涉及到KM算法的思想，不再贅述，請自行百度之。

但是源程式的調用過程煩雜：

for k := 1 to n dorepeat    fillchar(vx, sizeof(vx), 0);    fillchar(vy, sizeof(vy), 0);    if (find(k)) then break;    d := maxn;    for i := 1 to n do        if (vx[i]) then            for j := 1 to n do                if (not vy[j]) then                    d := min(d, lx[i] + ly[j] - w[i,j]);    for i := 1 to n do    begin        if (vx[i]) then dec(lx[i], d);        if (vy[i]) then inc(ly[i], d);    end;until false;