《Hardy-Littlewood-Sobolev 型方程組的若干問題研究》是依託上海交通大學，由黃耿耿擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Hardy-Littlewood-Sobolev 型方程組的若干問題研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：黃耿耿
- 依託單位：上海交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究Hardy-Littlewood-Sobolev(HLS)型方程組解的定性性質，例如解的存在性，不存在性，解在奇點附近的漸進行為，解在無窮遠附近的漸進行為等。研究主要套用於幾何分析，泛函分析，理論物理等。.我們將進一步發展和利用移動平面法，Pohozaev 恆等式，能量積分估計等來解決HLS型方程組在次臨界情形下的不存在性，從而能夠部分解決 Lane-Emden猜測，並利用次臨界情形的Liouville型定理給出有界區域上橢圓方程組的先驗估計。同時我們研究HLS型方程組在奇點附近的漸進行為。Chern-Simons-Higgs方程組解的存在性也是我們研究的目標。期望通過該項目能夠向國際著名的學者學習以及合作交流，從而提高自己的學術水平。
結題摘要
本項目主要研究半線性橢圓方程中的Hardy-Littlewood-Sobolev型方程以及Chern-Simons-Higgs方程解的定性性質，其中包括解的存在性和不存在性、解的對稱性、解的漸進性以及解的唯一性等方面的問題。取得的成果主要包括: 1. 將移動平面法在不同方面進行了推廣。2015年JDE的文章推廣方法套用到了高階特徵蛻化的橢圓型方程，並得到了帶孤立奇點的高階蛻化橢圓型方程的最大模原理。2017年CCM的文章，通過建立分數階的Laplacian方程的最大模原理，對分數次方程的移動平面法進行了推廣。我們相信這些推廣在以後的研究中會繼續起到相應的作用。2. Chern-Simons-Higgs（CSH）方程方面的研究。 2015年JDE的文章對一類“渦點”坍縮的方程給出了拓撲解的唯一性。這對研究CSH方程的“渦點”動力學行為可能會有一定的幫助。2016年IUMJ的文章對一類特殊的“斜”對稱的CSH方程給出了一般“渦點”條件下的非拓撲解的存在性。在此過程中建立的新的Brezis-Merle型3擇性定理對未來的研究會起到幫助作用。
