基本介紹
- 中文名：Dinic算法
- 外文名：dinic algorithm
- 說明：網路流最大流的最佳化算法之一
- 時間複雜度：O(n^2*m)
- 補充：相關代碼
歷史,算法介紹,層次圖,算法流程,時間複雜度,代碼實現,
歷史
Yefim Dinitz在Adel'son-Vel'sky（AVL樹的發明者之一）的算法課的課前活動上發明了這個算法。當時他不知道關於Ford–Fulkerson算法的基本事實。
Dinitz在1969年一月向他人公布了他發明的算法，又在1970年將其發布在Doklady Akademii nauk SSSR雜誌上。 在1974年，Shimon Even和(他之後的博士學生)Alon Itai在海法的以色列理工學院對Dinitz的算法以及Alexander Karzanov的阻塞流的想法很感興趣。但是雜誌上的文章每篇的篇幅被限制在四頁以內，很多細節都被忽略，這導致他們很難根據文章還原出算法。但他們沒有放棄，在後三天不斷地努力，設法了解這兩個檔案中的分層網路的維護問題。 在接下來的幾年，Even由於在講學中將Dinitz念為Dinic，導致Dinic算法反而成為了它的名稱。 Even和Itai也將算法與BFS和DFS結合起來，形成了當前版本的算法。
在Ford–Fulkerson算法被發明之後的約十年之內，使算法能在多項式複雜度之內處理不合理的邊界的方法是未知的。這造成缺乏任何已知的多項式複雜度算法解決最大流問題。 Dinitz算法和Edmonds–Karp算法在1972年發布，證明在Ford–Fulkerson算法中，如果每次總選擇最短的一條增廣路，路徑長度將單調增加，且算法總能終止。
算法介紹
層次圖
層次圖，就是把原圖中的點按照點到源的距離分“層”，只保留不同層之間的邊的圖。
算法流程
1、根據殘量網路計算層次圖。
2、在層次圖中使用DFS進行增廣直到不存在增廣路。
3、重複以上步驟直到無法增廣。
時間複雜度
因為在Dinic的執行過程中，每次重新分層，匯點所在的層次是嚴格遞增的，而n個點的層次圖最多有n層，所以最多重新分層n次。在同一個層次圖中，因為每條增廣路都有一個瓶頸，而兩次增廣的瓶頸不可能相同，所以增廣路最多m條。搜尋每一條增廣路時，前進和回溯都最多n次，所以這兩者造成的時間複雜度是O(nm)；而沿著同一條邊(i,j)不可能枚舉兩次，因為第一次枚舉時要么這條邊的容量已經用盡，要么點j到匯不存在通路從而可將其從這一層次圖中刪除。綜上所述，Dinic算法時間複雜度的理論上界是O(n^2*m)。
代碼實現
遞歸實現
代碼簡短，效率略低。（不是dinic，是最短路徑增值）
boolbuild()//建立層次圖{intx,y;memset(d,-1,sizeof(d));memset(G,-1,sizeof(G));bg=ed=d[s]=0;Q[ed++]=s;G[s]=g[s];while(bg<ed){x=Q[bg++];for(inti=g[x];i+1;i=np){y=to;if(cap&&d[y]==-1){d[y]=d[x]+1;G[y]=g[y];if(y==t)returntrue;Q[ed++]=y;}}}returnfalse;}intfind(intx,intlow=inf)//進行增廣{if(x==t)returnlow;intret=0,y;for(int&i=G[x];i+1;i=np)//注意i是引用{y=to[i];if(cap[i]&&d[y]==d[x]+1&&(ret=find(y,low<?cap[i]))){cap[i]-=ret;cap[vp]+=ret;returnret;}}return0;}intdinic()//主過程{intflow,ret=0;while(build())while(flow=find(s))ret+=flow;returnret;}非遞歸實現
效率更高，但代碼量略有些大。//Author:dd_engivoidDinic(){for(;;){BFS();if(D[T]==-1)break;intpath_n=0;intx=S;memcpy(cur,E,sizeof(cur));for(;;){if(x==T){intmink=-1,delta=INT_MAX;for(inti=0;i<path_n;++i){if(path[i]->c<delta){delta=path[i]->c;mink=i;}}for(inti=0;i<path_n;++i){path[i]->c-=delta;path[i]->back->c+=delta;}path_n=mink;x=path[path_n]->x;}edge*e;for(e=cur[x];e;e=e->next){if(e->c==0)continue;inty=e->y;if(D[x]+1==D[y])break;}cur[x]=e;if(e){path[path_n++]=e;x=e->y;}else{if(path_n==0)break;D[x]=-1;--path_n;x=path[path_n]->x;}}}}PASCAL代碼實現
ProgramDinic;TypeLx=Array[0..50]OfLongint;VarLu:Lx;A,B:Array[0..50]Of Lx;D,Dist:LX;V,T:Array[0..50]Of Boolean;Head,Tail,Sum,Ans,X,Y,S,I,P,J,K,M,N:Longint;Q,C:Boolean;ProcedureSpfa(S:Longint);VarI,J,Now,Sum:Longint;BeginFillchar(D,Sizeof(D),0);Fillchar(V,Sizeof(V),False);ForJ:=1 To N DoDist[J]:=MaxLongint;Dist[S]:=0;V[S]:=True;D[1]:=S;Head:=1;Tail:=1;While Head<=Tail DoBeginNow:=D[Head];ForI:= 1 To B[Now,0] Do if A[Now,B[Now,I]]>0 thenIf(Dist[B[Now,I]]>Dist[Now]+1) ThenBeginDist[B[Now,I]]:=Dist[Now]+1;If Not V[B[Now,I]] ThenBeginInc(Tail);D[Tail]:=B[Now,I];V[B[Now,I]]:=True;End;End;Inc(Head);End;End;Procedure Dfs(X,D:Longint);VarI:Longint;BeginLu[D]:=X;T[X]:=True;If X=N ThenBeginC:=False;S:=D;End;For I:=1 To N DoIf(A[X,I]>0)And C And(NotT[I])And(Dist[X]+1=Dist[I])Then Dfs(I,D+1);End;Procedure Expand(L:Lx;Len:Longint);VarI,J,K:Longint;BeginK:=MaxLongint;ForI:=2 To Len DoIf K>A[L[I-1],L[I]] Then K:=A[L[I-1],L[I]];Sum:=K;Writeln('K=',K);For I:=2 To Len DoBeginDec(A[L[I-1],L[I]],K);Inc(A[L[I],L[I-1]],K);End;End;BeginRead(N,M);ForI:=1 To M DoBeginRead(X,Y,K);A[X,Y]:=K;Inc(B[X,0]);B[X,B[X,0]]:=Y;End;C:=False;While True DoBeginSpfa(1);ForI:=1 To N DoT[I]:=False;K:=MaxLongint;C:=True;Dfs(1,1);If C Then Break;Expand(Lu,S);Inc(Ans,Sum);End;Writeln(Ans);End.