基本介紹
- 中文名：卡塔蘭數
- 外文名：catalan
- 別名：卡特蘭數
- 命名：歐仁·查理·卡塔蘭
- 類型：常在各種計數問題中出現的數列
性質,套用,括弧化問題,出棧次序問題,類似題目：,簡單代碼實現,
性質
令h(0)=1,h(1)=1，卡塔蘭數滿足遞歸式：
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2),這是n階遞推關係;
還可以化簡為1階遞推關係: 如h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)(n>1) h(0)=1
該遞推關係的解為：h(n)=C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,...)
卡塔蘭數列的前幾項為(sequence A 0 0 0 1 0 8 in OEIS) [註： n = 0, 1, 2, 3, … n]
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …
套用
括弧化問題
矩陣連乘： P=a0×a1×a2×a3×……×an，共有（n+1）項，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括弧表示成對的乘積，試問有幾種括弧化的方案？(h(n)種)
類似題目：有N個節點的二叉樹共有多少種情形？
出棧次序問題
一個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
類似題目：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
變型：
盛況空前的足球賽即將舉行。球賽門票售票處排起了球迷購票長龍。按售票處的規定，每位購票者限購一張門票，每張票售價 50 元。在排成長龍的球迷中有 5 個人手持面額50 元的錢幣，另有 5 個人手持 100 元面額的錢幣。現在售票處初始狀態下沒有零錢，那么，這 10 個人一共有___________種排隊方式，可使得售票處不出現找不出錢的尷尬局面。(注意每個人都是不同的)
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形如這樣的直角三角形格線，從左上角開始，只能向右走和向下走，問總共有多少種走法？
問題的由來：編號為 1 到 n 的 n 個元素，順序的進入一個棧，則可能的出棧序列有多少種？
對問題的轉化與思考：n 個元素進棧和出棧，總共要經歷 n 次進棧和 n 次出棧。這就相當於對這 2n 步操作進行排列。
一個模型：一個 n*n 的正方形格線，從左上角頂點到右下角頂點，只能向右走和向下走。問共有多少種走法。如果將向右走對應上述問題的出棧，向下走對應上述問題的進棧，那么，可 以視此模型為對上述問題的具體描述。而解決此問題，只要在總共從左上角到右下角的2n步中，選定向右走的步數，即共有C(n 2n)種走法。
但是存在一個問題，如果走法越過了對角線，那么對應到上述問題是出棧數比入棧數多，這是不符合實際的。
對以上模型進行處理，對角線將以上正方形格線分成兩部分，只留下包含對角線在內的下半部分，那么就不會出現越過對角線的問題。而這問題就是開始提出的問題。
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問題等價於：n個1和n個0組成一2n位的2進制數，要求從左到右掃描，1的累計數不小於0的累計數，試求滿足這條件的數有多少？
解答： 設P2n為這樣所得的數的個數。在2n位上填入n個1的方案數為 C（n 2n）
不填1的其餘n位自動填以數0。從C（n 2n）中減去不符合要求的方案數即為所求。
不合要求的數指的是從左而右掃描，出現0的累計數超過1的累計數的數。
不合要求的數的特徵是從左而右掃描時，必然在某一奇數2m+1位上首先出現m+1個0的累計數，和m個1的累計數。
此 後的2（n－m）－1位上有n－m個1，n－m－1個0。如若把後面這部分2（n－m）－1位，0與1交換，使之成為n－m個0，n－m－1個1，結果得 1個由n+1個0和n－1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應於一個由n－1個1和n+1個0組成的一個排列。
反過來，任何一個 由n+1個0，n－1個1組成的2n位數，由於0的個數多2個，2n是偶數，故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面的部分，令0 和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數。即n+1個0和n－1個1組成的2n位數，必對應於一個不合要求的數。
用上述方法建立了由n+1個0和n－1個1組成的2n位數，與由n個0和n個1組成的2n位數中從左向右掃描出現0的累計數超過1的累計數的數一一對應。
例如 10100101
是由4個0和4個1組成的8位2進制數。但從左而右掃描在第5位（顯示為紅色）出現0的累計數3超過1的累計數2，它對應於由3個1，5個0組成的10100010。
反過來 10100010
對應於 10100101
因而不合要求的2n位數與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應，故有
P2n = C（n 2n）— C（n+1 2n）
這個結果是一個“卡塔蘭數”Catalan
3.將多邊行劃分為三角形問題。
將一個凸多邊形區域分成三角形區域的方法數?
類似題目：
一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果他
從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那么有多少條可能的道路？
類似題目：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
與之相關的還有如NOIP2003 棧等題目。
簡單代碼實現
#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;long long f[35];inline void Rd(int &res){ char c;res=0; while(c=getchar(),c<48); do res=res*10+(c&15); while(c=getchar(),c>47);}int main(){ cout<<"卡特蘭數到F[n]:"; int n; Rd(n); f[0]=1; printf("0 1 "); for(int i=1;i<=n;i++) { f[i]=(4*i-2)*f[i-1]/(i+1); printf("%I64d ",f[i]); } puts(""); return 0;}