Bianconi–Barabási 模型

比安科尼－巴拉巴西（Bianconi–Barabási）模型是網路科學中的一類無標度模型，又稱適應性模型。在巴拉巴西－阿爾伯特模型中，我們假設一個節點的成長速度完全由該節點的度決定。為了引入節點的適應性，我們假設偏好連線取決於節點的適應性η和節點度k的乘積。由此而得到的模型被稱為比安科尼－巴拉巴西模型，也被稱為適應性模型。

基本介紹

• 中文名：比安科尼－巴拉巴西模型
• 外文名：Bianconi–Barabási model
• 適用領域：數學、網路科學
• 所屬學科：數學、網路科學

定義

比安科尼-巴拉巴西模型包含以下兩個步驟：

生長

在每個時間步，網路中加入一個新節點j，該節點具有 m 條連結和適應性。其中是從適應性分布 ρ(η) 中採樣得到的一個隨機數。節點的適應性一旦被賦值，便不再改變。

網路中，每個新節點被賦予一個隨機的適應性參數，參數取值以節點顏色表示。每個新節點按照廣義偏好連線來選擇與哪些節點相連。這使得節點度的增長速度正比於其適應性。概述圖中，節點大小正比於度，隨著時間推移，適應性最高的節點將成為度最大的樞紐節點。

偏好連線

一個新節點連線到節點 i 的機率正比於節點 i 的度 k_i 和適應性 η_i 的乘積：

該公式中，和的依賴關係體現了大度節點的高可見性，這意味著新節點更可能選擇和大度節點相連。對的依賴意味著，對於度相同的兩個節點，具有更高適應性的節點會有較大的機率獲得新連結。因此，公式保證了，對於最初只有少數幾個連結的“年輕”節點而言，只要其適應性比其他節點高，也可以快速地獲得連結。

度的動態過程

我們可以使用連續介質理論來預測每個節點的度隨時間的演化。根據優先連線公式，節點 i 的度的變化速度可以記為：

假設的時間演化服從冪指數依賴於其適應性的冪律分布：

將其代入上面公式，經過計算，我們可以發現度的動態變化過程中的冪指數滿足：

其中，

在巴拉巴西-阿爾伯特模型中，，因此每個節點的度按照時間的平方根速度增長。而在比安科尼-巴拉巴西模型中，冪指數正比於節點的適應性，因此每個節點具有各自的冪指數，適應性較高的節點，度增長較快。加入時間足夠長，適應性高的節點最終會將適應性低的節點甩在身後。Facebook 為該現象提夠了典型案例：具有高吸引力的一位後來者，獲得連結的速度要快於其競爭者，最終成為整個網路中最大的樞紐節點。

度分布

使用連續介質理論， 我們可以計算出由比安科尼-巴拉巴西模型生成的網路的度分布：

該公式是多個冪律分布的加權和，這意味著依賴於適應型分布的精確形式。為了展示該模型的性質，我們利用該公式計算出如下兩種適應性分布時的和：

等適應性

當所有節點的適應性相同時，比安科尼-巴拉巴西模型退化為巴拉巴西-阿爾伯特模型。實際上，這個情形對應著，即所有節點的適應性都為。在這種情況下，我們根據公式可以得到，。進而，我們可以得到度分布，即巴拉巴西-阿爾伯特模型中廣為人知的度分布形式。

均勻分布的適應性

更值得關注的是，節點適應性各不相同時該模型的表現。我們假設均勻分布於區間上。在該情況下，根據公式可以得到：

求解方程可得到的數值解。因此，每個節點 i 具有不同的冪指數。使用公式，我們得出度分布：

該公式表明，度分布服從度指數為的冪律分布。然而，此時的度分布並非嚴格服從冪律分布，而是服從受對數倒數項修正了的冪律分布。

綜上所述，比安科尼-巴拉巴西模型可以解釋這一現象：內在屬性不同的節點獲取連結的速度不同。該模型預言，節點的生長速度取決於其適應性，我們可以由此計算出度分布對適應性分布的依賴關係。