Ap 權

正文

保證某些運算元在加權勒貝格空間有界的權函式。設是()到()的有界運算元,即對任意∈()，有
式中與無關, 積分中的d為勒貝格測度。設()≥0是定義在上的局部可積函式。問題是()滿足什麼樣的條件，可保證運算元是(,()d)到(,()d)的有界運算元,即對任意∈(,()d),有
式中與無關。1972年B.穆肯霍普特提出了下面的條件。所謂()滿足條件(1<p<∞)是指存在常數，使不等式

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(1)

對中所有的方塊成立。這條件的意思是在的平均值與在的平均值的p-1次冪的乘積是有界的。對p=1，所謂()滿足條件，是指不等式
對中的所有方塊成立,式中與無關。這意思是()在的平均值可以被()在的本性下界控制。這是等式(1)的極限情形。
最後，所謂()滿足條件，是指存在常數與δ>0，使得對中的任意方塊以及中的任意勒貝格可測集，有

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,

式中||表示的勒貝格測度。這條件的意思是指用()d定義的測度，與勒貝格測度在某種意義下是可比較的。如果()滿足條件,就說()是一個權。全體權構成的函式集合也用表示。1972年，穆肯霍普特首先證明了，若是哈代-李特爾伍德極大函式,即

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，

則()是(,()d)到(,()d)的有界運算元的充分必要條件是是權(1<p<∞)。後來,R.A.亨特、穆肯霍普特、R.L.惠登、R.R.科伊夫曼與C.費弗曼等人證明了,一般的考爾德倫-贊格蒙奇異積分運算元是(,()d)到(,()d),有界運算元的充分必要條件也是為權(1<p<∞)。
上述結果對p=1與p=∞並不成立,但、在有關理論中也是兩類十分重要的權函式。它們與有密切的關係。粗略地說就是，是全體的公共部分，而是包含全體的最小集合。用符號寫出來就是
P.瓊斯於 1980年證明了權的分解定理。這就是，設1<p<∞, 則∈的充分必要條件是，其中,∈。這就有可能把對問題的討論歸結為。
權與哈代-李特爾伍德極大函式，BMO空間等有密切聯繫。例如,設是任意的局部可積函式,()是它的哈代－李特爾伍德極大函式，0<δ0，使得e∈。
權具有一個很重要的性質，即它滿足反向赫爾德不等式：若∈,1≤p0與常數,使得
對中的所有方塊成立。這一性質在近代偏微分方程理論中有重要的套用。
權是近代調和分析的一個重要工具。

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