An introduction of optimal control systems

內容簡介

本書主要討論如何通過變分法來實現控制問題辨陵埋跨。更具體地說，研究了如何套用變分法實現泛函極值。它涵蓋了具有不同邊界條件、涉及多洪她旬個函式、具有一定約束條件等的泛函極值問題。 1.利用變分法給出了（連續時間）最控制解的充要條件，求解了不同邊界條件下的最控制問題，並分別對線性二次型調節器和跟蹤問題進行了詳細的分析。 2.通過套用基於變分法的Pontryagin最小原探記嘗理，給出了具有狀態約束的最控制問題的解。並將所得結果套用於實現幾種常見的最控制問題，如最小時間、最小燃料和最小能量問題等。作少勸為最控制方法的另一個重要分支，本文還介紹了如何通過動態規劃求解最控制境才訂問題，並討論了變分法與動態嫌滲茅規劃的關係，以供比較。 3.關於涉及單個代理的系統，還值得研究如何在微分模型乃獄腿笑框架內實現底層最控制問題的分散解。套用龐特里亞金最小原理和動態規劃方法實現了平衡。由於離散時間最控制問題在許多領域都很流行，所以本文也分析了上述所有材料的離散時間版本。

圖書目錄

Chapter 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Backgrounds and Motivations of the Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Optimal Control Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Problem Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Some Examples of Optimal Control Problems . . . . . . . 12

1.3.2 Mathematical Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Organization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Chapter 2 Extrema of Functional via Variational Method . . 31

2.1 Fundamental Notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.1 Linearity of Function and Functional . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.2 Norm in Euclidean Space and Functional . . . . . . . . . . . . 34

2.1.3 Increment of Function and Functional . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.4 Di erential of Function and Variation of

Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Extrema of Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.1 Extrema with Fixed Final Time and Fixed

Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.2 Speci c Forms of Euler Equation in

Di erent Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.3 Su cient Condition for Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.4 Extrema with Fixed Final Time and

Free Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2.5 Extrema with Free Final Time and

Fixed Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.6 Extrema with Free Final Time and

Free Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.3 Extrema of Functional with Multiple Independent

Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4 Extrema of Function with Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.4.1 Elimination/Direct Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.4.2 Lagrange Multiplier Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.5 Extrema of Functional with Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.5.1 Extrema of Functional with Di erential

Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.5.2 Extrema of Functional with Isoperimetric

Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Chapter 3 Optimal Control via Variational Method . . . . . . . . . 96

3.1 Necessary and Su cient Condition for Optimal Control . . . . . 96

3.2 Optimal Control Problems with Di erent

Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.2.1 Optimal Control with Fixed Final Time and

State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.2.2 Optimal Control with Fixed Final Time and

Free Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.2.3 Optimal Control with Free Final Time and

Fixed Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.2.4 Optimal Control with Free Final Time and State . . . 112

3.3 Linear Quadratic Regulator Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.3.1 In nite-interval Time-invariant LQR Problems . . . . . 130

3.4 Linear Quadratic Tracking Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Chapter 4 Pontryagin's Minimum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.1 Pontryagin's Minimum Principle with Constrained

Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.2 Pontryagin's Minimum Principle with Constrained

State Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.3 Minimum Time Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.3.1 Optimal Control Solution for Minimum

Time Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.3.2 Minimum Time Problems for Linear

Time-invariant Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.4 Minimum Fuel Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.5 Performance Cost Composed of Elapsed Time and

Consumed Fuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

4.6 Minimum Energy Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.7 Performance Cost Composed of Elapsed Time and

Consumed Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

4.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Chapter 5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

作者簡介

馬中靜，南開大學本科、加拿大麥吉爾大學碩士和博士，美國密西根大學安娜堡分校博士後。現為自動化學院副教授、博士生導師、電氣工程研究所所長、自動化（全英文）專業責任教授。講授《※優與魯棒控制》、《自動控制原理》等全英文課程，主持了國家自然科學基金項目“插電式電動汽車※優充電控制策略研究”和“基於交替方向乘子法的大規模多能耦合系統最佳化問題研究”、科技部國際合作專項“分散式可再生能源控制及最佳化利用技術的聯合研發”以及國家電網等多項課題。在最佳化、※優控制、博弈論、新能源最佳化利用等方面取得了豐富的科研成果，在IEEE Trans. on Automatic Control、Automatica、IEEE Trans. on Control Systems Technology等發表高水平SCI/EI論文50餘篇，GoogleScholar引用1000 次。為知名SCI期刊《Nonlinear Analysis：Hybrid Systems》編委、副編輯，IEEE高級會員。

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