點集拓撲法

點集拓撲法又稱一般拓撲法，是主要用來研究拓撲空間的自身結構及其間的連續映射的方法。在19世紀70年代德國數學家康托爾(G.Cantor)建立集合論後，20世紀初法國數學家弗雷歇(R.Frechet)，德國數學家豪斯多夫(F.Hausdorff)等開創了抽象空間研究的先河。在20世紀20年代點集拓撲方法迅速發展，得到了廣泛的套用和不少深刻的成果。通過在非空集合X上給定一個鄰域系構造，賦於X上一個拓撲，有了拓撲的集合X就叫做拓撲空間。藉助鄰域系描述“極限趨於某點”這種鄰近狀態，把數學分析中的連續函式的概念推廣為拓撲空間的連續映射的概念，一一的且雙向連續的映射稱作拓撲映射，拓撲映射下保持的空間的性質叫做拓撲性質。

20世紀30至40年代，拓撲學家圍繞對緊空間和度量空間的研究得到許多經典的結果，例如關於任意多個緊空間的乘積空間仍然是緊空間的吉洪諾夫定理等。1944年法國數學家迪厄多內提出仿緊空間的概念，50年代初由美國數學家賓恩，蘇聯數學家斯米爾諾夫和日本數學家納戈達同時發現拓撲空間可度量化的內部刻畫。仿緊空間和度量化定理，不僅促進了點集拓撲法的發展，而且在許多近代數學分支中起到重要的作用。經過70至80年的發展已較成熟，但其自身結構中若干問題仍然引人注意。例如維數論仍在不斷地進展，連續統和低維流形拓撲研究，集合論拓撲學的形成與發展，以及與同倫論的基本概念關係密切的型論研究，綜合收縮核理論與n維流形理論的成果而展開的無限維流形的研究等都有廣闊的前景。值得提出的是，它做為一門抽象學科，近年來在計算機科學、生物學、化學等學科，特別是與分子結構有關的理論方面的套用也開始引起重視。在20世紀60年代扎德提出模糊集論之後，不分明拓撲學的研究也引起了重視。中國學者提出了稱作重域系的新的鄰近構造，代替傳統的鄰域系，使這一領域的研究有了新的突破，不分明拓撲學的研究方法和成果已經開始套用於模糊數學的其他理論研究與實際套用中。